Номер 725, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 4. Системы уравнений - номер 725, страница 220.

Условие.

725 а) На концерте для первоклассников выступают 3 девочки и 4 мальчика. Сколько различных вариантов программы можно составить, если решено, что первой будет выступать девочка?

б) У второклассника Миши 3 карточки с цифрами 0, 5, 8. Сколько различных трёхзначных чисел он может из них составить?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Это задача на нахождение числа перестановок с ограничением. Общее количество участников концерта: $3$ девочки + $4$ мальчика = $7$ человек. Порядок их выступления важен, поэтому мы имеем дело с перестановками.

1. Выбор первого выступающего. По условию, первой должна выступать девочка. У нас есть 3 девочки, поэтому существует 3 способа выбрать первого участника.

2. Расстановка оставшихся участников. После того как первая участница (девочка) выбрана, остаются $7 - 1 = 6$ человек (2 девочки и 4 мальчика). Этих 6 человек можно расставить на оставшиеся 6 мест в программе. Количество способов сделать это равно числу перестановок из 6 элементов, что вычисляется как факториал числа 6:
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

3. Общее количество вариантов программы. Чтобы найти общее количество возможных вариантов программы, нужно умножить количество способов выбора первой девочки на количество способов расстановки остальных участников (согласно правилу произведения в комбинаторике).
$N = 3 \times 6! = 3 \times 720 = 2160$.

Таким образом, можно составить 2160 различных вариантов программы.

Ответ: 2160

б) Это задача на составление чисел из заданных цифр без повторения, с учетом ограничения на первую цифру. У нас есть 3 карточки с цифрами 0, 5, 8. Нужно составить из них различные трёхзначные числа.

1. Выбор первой цифры (разряд сотен). Трёхзначное число не может начинаться с нуля. Поэтому для первой цифры мы можем выбрать только 5 или 8. Следовательно, у нас есть 2 варианта.

2. Выбор второй цифры (разряд десятков). После того как первая цифра выбрана, у нас остаются две карточки. Например, если мы выбрали 5, остались 0 и 8. Если выбрали 8, остались 0 и 5. В любом случае, для второй цифры есть 2 варианта (теперь ноль использовать можно).

3. Выбор третьей цифры (разряд единиц). После выбора первых двух цифр у нас остаётся только одна карточка. Таким образом, для третьей цифры есть всего 1 вариант.

4. Общее количество чисел. Чтобы найти общее количество различных трёхзначных чисел, перемножим количество вариантов для каждой позиции:
$N = 2 \times 2 \times 1 = 4$.

Для наглядности можно перечислить все возможные числа:
Если первая цифра 5, то получаем числа 508 и 580.
Если первая цифра 8, то получаем числа 805 и 850.
Всего 4 различных числа.

Ответ: 4