Страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Некоторая прямая задана уравнением вида $y = kx + l$. Можно ли что-либо сказать о коэффициентах этого уравнения, если известно, что данная прямая:

a) параллельна прямой $y = 3x - 4$;

б) пересекает ось $y$ в той же точке, что и прямая $y = 6x - 5?

a)

Уравнение прямой задается в виде $y = kx + l$. В этом уравнении коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой, а коэффициент $l$ — это свободный член, который соответствует ординате точки пересечения прямой с осью $y$.

Условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + l_1$ и $y = k_2x + l_2$, является равенство их угловых коэффициентов, то есть $k_1 = k_2$.

В задаче дано, что прямая $y = kx + l$ параллельна прямой $y = 3x - 4$. Угловой коэффициент прямой $y = 3x - 4$ равен 3. Следовательно, для параллельности искомая прямая должна иметь такой же угловой коэффициент.

Таким образом, мы можем заключить, что $k = 3$. Относительно коэффициента $l$ на основании только этого условия ничего определенного сказать нельзя (он может быть любым числом, за исключением случая $l = -4$, если прямые не должны совпадать).

Ответ: Коэффициент $k$ равен 3 ($k=3$). О коэффициенте $l$ ничего сказать нельзя.

б)

Прямая пересекает ось $y$ в точке, где абсцисса $x$ равна нулю. Для прямой $y = kx + l$ точка пересечения с осью $y$ находится при $x=0$, что дает $y = k \cdot 0 + l = l$. Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(0, l)$.

Найдем точку пересечения прямой $y = 6x - 5$ с осью $y$. Подставим в это уравнение $x=0$:

$y = 6 \cdot 0 - 5 = -5$.

Следовательно, прямая $y = 6x - 5$ пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, -5)$.

По условию, прямая $y = kx + l$ пересекает ось $y$ в той же самой точке. Это означает, что ординаты их точек пересечения с осью $y$ должны быть равны.

Отсюда следует, что $l = -5$. Относительно углового коэффициента $k$ на основании этого условия ничего определенного сказать нельзя (он может быть любым действительным числом).

Ответ: Коэффициент $l$ равен -5 ($l=-5$). О коэффициенте $k$ ничего сказать нельзя.

Разберите решение задачи 2.

1) В каком виде мы хотим записать искомое уравнение прямой?

2) Как на алгебраическом языке записывается утверждение: прямая проходит через точку $A(-1; 2)$? прямая проходит через точку $B(3; 4)$?

3) Решите составленную систему двух уравнений с переменными $k$ и $l$. Какой способ решения вы выбрали?

4) Выполните проверку: убедитесь, что точки $A(-1; 2)$ и $B(3; 4)$ принадлежат прямой, уравнение которой составлено.

1) В каком виде мы хотим записать искомое уравнение прямой?

Искомое уравнение прямой, проходящей через две точки, удобно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом: $y = kx + l$. В этом уравнении $k$ — это угловой коэффициент, который показывает наклон прямой, а $l$ — это свободный член, который соответствует ординате точки пересечения прямой с осью $OY$.

Ответ: В виде $y = kx + l$.

2) Как на алгебраическом языке записывается утверждение: прямая проходит через точку A(-1; 2)? прямая проходит через точку B(3; 4)?

Если прямая проходит через точку, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой. Мы подставляем координаты $x$ и $y$ каждой точки в уравнение $y = kx + l$.

Для точки $A(-1; 2)$, подставляем $x = -1$ и $y = 2$ в уравнение прямой:
$2 = k \cdot (-1) + l$
Это дает нам первое уравнение: $2 = -k + l$.

Для точки $B(3; 4)$, подставляем $x = 3$ и $y = 4$ в уравнение прямой:
$4 = k \cdot 3 + l$
Это дает нам второе уравнение: $4 = 3k + l$.

Ответ: Утверждение "прямая проходит через точку $A(-1; 2)$" записывается как $2 = -k + l$. Утверждение "прямая проходит через точку $B(3; 4)$" записывается как $4 = 3k + l$.

3) Решите составленную систему двух уравнений с переменными k и l. Какой способ решения вы выбрали?

Мы составили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $k$ и $l$:

$\begin{cases} 2 = -k + l \\ 4 = 3k + l \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать способ алгебраического сложения, а именно вычитание, поскольку коэффициент при переменной $l$ в обоих уравнениях одинаков. Вычтем первое уравнение из второго:

$(4 - 2) = (3k + l) - (-k + l)$
$2 = 3k + l + k - l$
$2 = 4k$
Отсюда находим $k$:
$k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

Теперь, зная $k$, подставим его значение в любое из уравнений системы, например, в первое, чтобы найти $l$:
$2 = -0.5 + l$
$l = 2 + 0.5$
$l = 2.5$

Ответ: Решение системы: $k = 0.5$, $l = 2.5$. Был выбран способ алгебраического сложения (вычитание уравнений).

4) Выполните проверку: убедитесь, что точки A(-1; 2) и B(3; 4) принадлежат прямой, уравнение которой составлено.

Подставив найденные значения $k = 0.5$ и $l = 2.5$ в общее уравнение прямой $y = kx + l$, мы получили уравнение: $y = 0.5x + 2.5$.

Для проверки необходимо подставить координаты точек $A$ и $B$ в полученное уравнение и убедиться, что получаются верные равенства.

Проверка для точки $A(-1; 2)$:
Подставляем $x = -1$ и $y = 2$:
$2 = 0.5 \cdot (-1) + 2.5$
$2 = -0.5 + 2.5$
$2 = 2$ (верно).

Проверка для точки $B(3; 4)$:
Подставляем $x = 3$ и $y = 4$:
$4 = 0.5 \cdot 3 + 2.5$
$4 = 1.5 + 2.5$
$4 = 4$ (верно).

Ответ: Проверка подтвердила, что обе точки, $A(-1; 2)$ и $B(3; 4)$, принадлежат прямой, заданной уравнением $y = 0.5x + 2.5$, так как их координаты удовлетворяют этому уравнению.

1) В чём состоит приём, использованный для решения задачи 3?

2) Решите эту же задачу, вычислив сначала координаты точки пересечения второй и третьей из приведённых прямых.

1)

Приём, использованный для решения задачи 3, заключается в применении условия пересечения трёх прямых в одной точке. Для трёх прямых на плоскости, заданных общими уравнениями:

$A_1x + B_1y + C_1 = 0$

$A_2x + B_2y + C_2 = 0$

$A_3x + B_3y + C_3 = 0$

...необходимым и достаточным условием их пересечения в одной точке (при условии, что никакие две из них не параллельны) является равенство нулю определителя, составленного из их коэффициентов.

Математически это условие выглядит так: $$ \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix} = 0 $$

Суть приёма: составить этот определитель для данных в задаче трёх прямых, приравнять его к нулю и решить полученное уравнение относительно неизвестного параметра. Этот способ позволяет найти искомое значение, не вычисляя координаты точки пересечения.

Ответ: Использован приём, основанный на условии пересечения трёх прямых в одной точке: определитель, составленный из коэффициентов их уравнений, должен быть равен нулю.

2)

Поскольку условие исходной задачи 3 не предоставлено, для демонстрации метода решения предположим, что она состояла в нахождении параметра $a$, при котором следующие три прямые пересекаются в одной точке:

Прямая 1: $ax - 2y - 1 = 0$

Прямая 2: $x - y - 1 = 0$

Прямая 3: $2x + 3y - 12 = 0$

Следуя инструкции, сначала найдём координаты точки пересечения второй и третьей прямых, решив систему уравнений:

$$\begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ 2x + 3y - 12 = 0\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 1$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(y + 1) + 3y - 12 = 0$

$2y + 2 + 3y - 12 = 0$

$5y - 10 = 0$

$y = 2$

Теперь, зная $y$, найдём $x$:

$x = y + 1 = 2 + 1 = 3$

Координаты точки пересечения второй и третьей прямых — $(3, 2)$.

Для того чтобы все три прямые пересекались в одной точке, эта точка должна удовлетворять и уравнению первой прямой. Подставим координаты $(3, 2)$ в уравнение $ax - 2y - 1 = 0$:

$a \cdot 3 - 2 \cdot 2 - 1 = 0$

$3a - 4 - 1 = 0$

$3a - 5 = 0$

$3a = 5$

$a = \frac{5}{3}$

Ответ: $a = \frac{5}{3}$.

684 Запишите уравнение прямой и постройте её, если известно, что:

а) угловой коэффициент прямой равен -2 и она проходит через точку $(2; -2)$;

б) угловой коэффициент прямой равен 0,5 и она проходит через точку $(-6; -2)$.

а) Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — свободный член, который соответствует ординате точки пересечения прямой с осью OY.

По условию, угловой коэффициент $k = -2$. Следовательно, уравнение нашей прямой принимает вид $y = -2x + b$.

Чтобы найти значение $b$, мы используем информацию о том, что прямая проходит через точку с координатами (2; -2). Подставим эти значения ($x=2$ и $y=-2$) в уравнение прямой:

$-2 = -2 \cdot 2 + b$

$-2 = -4 + b$

Отсюда находим $b$:

$b = 4 - 2$

$b = 2$

Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = -2x + 2$.

Для построения графика прямой необходимо определить координаты как минимум двух точек. Одна точка нам уже известна: A(2; -2). Вторую точку можно найти, определив точку пересечения прямой с осью ординат (OY). Для этого подставим $x=0$ в уравнение:

$y = -2 \cdot 0 + 2 = 2$

Мы получили вторую точку B(0; 2). Теперь на координатной плоскости нужно отметить точки A(2; -2) и B(0; 2) и провести через них прямую линию.

Ответ: $y = -2x + 2$.

б) Аналогично пункту а), используем уравнение прямой $y = kx + b$.

По условию, угловой коэффициент $k = 0,5$. Значит, уравнение прямой имеет вид $y = 0,5x + b$.

Прямая проходит через точку с координатами (-6; -2). Подставим эти значения ($x=-6$ и $y=-2$) в уравнение, чтобы найти коэффициент $b$:

$-2 = 0,5 \cdot (-6) + b$

$-2 = -3 + b$

Отсюда находим $b$:

$b = 3 - 2$

$b = 1$

Следовательно, искомое уравнение прямой: $y = 0,5x + 1$.

Для построения графика найдем координаты двух точек. Одна точка нам дана: C(-6; -2). Вторую точку найдем, определив точку пересечения с осью OY, для чего подставим $x=0$ в уравнение:

$y = 0,5 \cdot 0 + 1 = 1$

Мы получили вторую точку D(0; 1). Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки C(-6; -2) и D(0; 1) и провести через них прямую линию.

Ответ: $y = 0,5x + 1$.

685 Запишите уравнение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку A:

а) $y=3x$, $A(2; -1);$

б) $y=-\frac{1}{2}x + 4$, $A(-6; 5).$

а)

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент данной прямой $y = 3x$ равен $k = 3$.

Следовательно, у искомой прямой, которая параллельна данной, угловой коэффициент также равен $3$. Ее уравнение имеет вид $y = 3x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$, подставим в это уравнение координаты точки $A(2; -1)$, через которую проходит прямая:

$-1 = 3 \cdot 2 + b$

$-1 = 6 + b$

$b = -1 - 6$

$b = -7$

Подставив найденное значение $b$ в уравнение, получаем искомую прямую.

Ответ: $y = 3x - 7$

б)

Угловой коэффициент данной прямой $y = -\frac{1}{2}x + 4$ равен $k = -\frac{1}{2}$.

У искомой параллельной прямой угловой коэффициент также будет равен $-\frac{1}{2}$. Ее уравнение имеет вид $y = -\frac{1}{2}x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$, подставим в уравнение координаты точки $A(-6; 5)$:

$5 = -\frac{1}{2} \cdot (-6) + b$

$5 = 3 + b$

$b = 5 - 3$

$b = 2$

Подставив найденное значение $b$ в уравнение, получаем искомую прямую.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + 2$