Номер 2, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 2, страница 211.

Условие.

Разберите решение задачи 2.

1) В каком виде мы хотим записать искомое уравнение прямой?

2) Как на алгебраическом языке записывается утверждение: прямая проходит через точку $A(-1; 2)$? прямая проходит через точку $B(3; 4)$?

3) Решите составленную систему двух уравнений с переменными $k$ и $l$. Какой способ решения вы выбрали?

4) Выполните проверку: убедитесь, что точки $A(-1; 2)$ и $B(3; 4)$ принадлежат прямой, уравнение которой составлено.

Решение 3.

Решение 4.

1) В каком виде мы хотим записать искомое уравнение прямой?

Искомое уравнение прямой, проходящей через две точки, удобно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом: $y = kx + l$. В этом уравнении $k$ — это угловой коэффициент, который показывает наклон прямой, а $l$ — это свободный член, который соответствует ординате точки пересечения прямой с осью $OY$.

Ответ: В виде $y = kx + l$.

2) Как на алгебраическом языке записывается утверждение: прямая проходит через точку A(-1; 2)? прямая проходит через точку B(3; 4)?

Если прямая проходит через точку, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой. Мы подставляем координаты $x$ и $y$ каждой точки в уравнение $y = kx + l$.

Для точки $A(-1; 2)$, подставляем $x = -1$ и $y = 2$ в уравнение прямой:
$2 = k \cdot (-1) + l$
Это дает нам первое уравнение: $2 = -k + l$.

Для точки $B(3; 4)$, подставляем $x = 3$ и $y = 4$ в уравнение прямой:
$4 = k \cdot 3 + l$
Это дает нам второе уравнение: $4 = 3k + l$.

Ответ: Утверждение "прямая проходит через точку $A(-1; 2)$" записывается как $2 = -k + l$. Утверждение "прямая проходит через точку $B(3; 4)$" записывается как $4 = 3k + l$.

3) Решите составленную систему двух уравнений с переменными k и l. Какой способ решения вы выбрали?

Мы составили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $k$ и $l$:

$\begin{cases} 2 = -k + l \\ 4 = 3k + l \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать способ алгебраического сложения, а именно вычитание, поскольку коэффициент при переменной $l$ в обоих уравнениях одинаков. Вычтем первое уравнение из второго:

$(4 - 2) = (3k + l) - (-k + l)$
$2 = 3k + l + k - l$
$2 = 4k$
Отсюда находим $k$:
$k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

Теперь, зная $k$, подставим его значение в любое из уравнений системы, например, в первое, чтобы найти $l$:
$2 = -0.5 + l$
$l = 2 + 0.5$
$l = 2.5$

Ответ: Решение системы: $k = 0.5$, $l = 2.5$. Был выбран способ алгебраического сложения (вычитание уравнений).

4) Выполните проверку: убедитесь, что точки A(-1; 2) и B(3; 4) принадлежат прямой, уравнение которой составлено.

Подставив найденные значения $k = 0.5$ и $l = 2.5$ в общее уравнение прямой $y = kx + l$, мы получили уравнение: $y = 0.5x + 2.5$.

Для проверки необходимо подставить координаты точек $A$ и $B$ в полученное уравнение и убедиться, что получаются верные равенства.

Проверка для точки $A(-1; 2)$:
Подставляем $x = -1$ и $y = 2$:
$2 = 0.5 \cdot (-1) + 2.5$
$2 = -0.5 + 2.5$
$2 = 2$ (верно).

Проверка для точки $B(3; 4)$:
Подставляем $x = 3$ и $y = 4$:
$4 = 0.5 \cdot 3 + 2.5$
$4 = 1.5 + 2.5$
$4 = 4$ (верно).

Ответ: Проверка подтвердила, что обе точки, $A(-1; 2)$ и $B(3; 4)$, принадлежат прямой, заданной уравнением $y = 0.5x + 2.5$, так как их координаты удовлетворяют этому уравнению.