Номер 680, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 680, страница 209.

Условие.

680 a) Междугородный автобус проехал от одного города до другого за $17 \text{ ч}$. Некоторое время он ехал со скоростью $35 \text{ км/ч}$, а остальную часть пути — со скоростью $55 \text{ км/ч}$. Определите, сколько часов он ехал со скоростью $35 \text{ км/ч}$ и сколько со скоростью $55 \text{ км/ч}$, если его средняя скорость была $50 \text{ км/ч}$.

б) Автомобиль затратил $5 \text{ ч}$ на путь от одного города до другого. Часть пути он ехал со скоростью $70 \text{ км/ч}$, а часть пути со скоростью $90 \text{ км/ч}$, и $1 \text{ ч}$ был затрачен на остановку. Сколько времени он ехал со скоростью $70 \text{ км/ч}$ и сколько со скоростью $90 \text{ км/ч}$, если его средняя скорость была $60 \text{ км/ч}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Обозначим за $t_1$ время, которое автобус ехал со скоростью $v_1 = 35$ км/ч, и за $t_2$ время, которое он ехал со скоростью $v_2 = 55$ км/ч.

Общее время в пути составляет 17 часов, следовательно, мы можем составить первое уравнение:$t_1 + t_2 = 17$

Средняя скорость $v_{ср}$ вычисляется как отношение всего пройденного пути $S$ ко всему времени движения $T$.$v_{ср} = \frac{S}{T}$

Весь путь $S$ складывается из двух участков: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 35t_1$ и $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 55t_2$.Таким образом, $S = 35t_1 + 55t_2$.

Подставим известные значения в формулу средней скорости:$50 = \frac{35t_1 + 55t_2}{17}$

Отсюда получаем второе уравнение: $35t_1 + 55t_2 = 50 \cdot 17$, или $35t_1 + 55t_2 = 850$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$$\begin{cases}t_1 + t_2 = 17 \\35t_1 + 55t_2 = 850\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $t_2$: $t_2 = 17 - t_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$35t_1 + 55(17 - t_1) = 850$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t_1$:$35t_1 + 935 - 55t_1 = 850$$935 - 850 = 55t_1 - 35t_1$$85 = 20t_1$$t_1 = \frac{85}{20} = 4,25$ часа.

Теперь найдем $t_2$:$t_2 = 17 - 4,25 = 12,75$ часа.

Итак, автобус ехал 4,25 часа со скоростью 35 км/ч и 12,75 часа со скоростью 55 км/ч.

Ответ: автобус ехал 4,25 часа со скоростью 35 км/ч и 12,75 часа со скоростью 55 км/ч.

б)

Обозначим за $t_1$ время, которое автомобиль ехал со скоростью $v_1 = 70$ км/ч, и за $t_2$ время, которое он ехал со скоростью $v_2 = 90$ км/ч.

Общее время поездки составляет $T_{общ} = 5$ часов. Из этого времени 1 час был потрачен на остановку. Значит, время движения автомобиля $T_{движ}$ составляет:$T_{движ} = 5 - 1 = 4$ часа.

Таким образом, сумма времени движения на разных скоростях равна 4 часам:$t_1 + t_2 = 4$

Средняя скорость $v_{ср}$ вычисляется как отношение всего пройденного пути $S$ ко всему времени поездки $T_{общ}$ (включая остановку).$v_{ср} = \frac{S}{T_{общ}}$

Весь путь $S$ равен сумме расстояний, пройденных с разными скоростями: $S = v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2 = 70t_1 + 90t_2$.

Подставим известные значения в формулу средней скорости:$60 = \frac{70t_1 + 90t_2}{5}$

Отсюда получаем второе уравнение: $70t_1 + 90t_2 = 60 \cdot 5$, или $70t_1 + 90t_2 = 300$.

Составим систему уравнений:$$\begin{cases}t_1 + t_2 = 4 \\70t_1 + 90t_2 = 300\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $t_2$: $t_2 = 4 - t_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$70t_1 + 90(4 - t_1) = 300$

Решим полученное уравнение:$70t_1 + 360 - 90t_1 = 300$$360 - 300 = 90t_1 - 70t_1$$60 = 20t_1$$t_1 = \frac{60}{20} = 3$ часа.

Теперь найдем $t_2$:$t_2 = 4 - 3 = 1$ час.

Следовательно, автомобиль ехал 3 часа со скоростью 70 км/ч и 1 час со скоростью 90 км/ч.

Ответ: автомобиль ехал 3 часа со скоростью 70 км/ч и 1 час со скоростью 90 км/ч.