Номер 681, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 681, страница 209.

Условие.

681 Матери, дочери и бабушке вместе 105 лет. Матери и дочери вместе 45 лет, а бабушке и внучке вместе 70 лет. Сколько лет каждой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие возраст каждого члена семьи. В задаче речь идет о трех людях: бабушке, матери и дочери (которая является внучкой для бабушки).
Пусть $Б$ – возраст бабушки.
Пусть $М$ – возраст матери.
Пусть $Д$ – возраст дочери.

Исходя из условий задачи, составим систему из трех уравнений:
1. Суммарный возраст всех троих — 105 лет: $М + Д + Б = 105$
2. Суммарный возраст матери и дочери — 45 лет: $М + Д = 45$
3. Суммарный возраст бабушки и внучки (дочери) — 70 лет: $Б + Д = 70$

Сколько лет бабушке?

Мы знаем общий возраст троих ($М + Д + Б = 105$) и возраст матери с дочерью ($М + Д = 45$). Если из общего возраста вычесть возраст матери и дочери, мы получим возраст бабушки. Для этого подставим значение суммы $М + Д$ из второго уравнения в первое:
$(М + Д) + Б = 105$
$45 + Б = 105$
Теперь найдем возраст бабушки:
$Б = 105 - 45$
$Б = 60$

Ответ: бабушке 60 лет.

Сколько лет матери?

Аналогично, мы знаем общий возраст троих ($М + Д + Б = 105$) и возраст бабушки с дочерью (внучкой) ($Б + Д = 70$). Если из общего возраста вычесть возраст бабушки и дочери, мы получим возраст матери. Подставим значение суммы $Б + Д$ из третьего уравнения в первое:
$М + (Б + Д) = 105$
$М + 70 = 105$
Теперь найдем возраст матери:
$М = 105 - 70$
$М = 35$

Ответ: матери 35 лет.

Сколько лет дочери?

Теперь, зная возраст матери и бабушки, мы можем найти возраст дочери. Воспользуемся вторым уравнением: $М + Д = 45$. Подставим в него найденный возраст матери ($М = 35$):
$35 + Д = 45$
$Д = 45 - 35$
$Д = 10$
Для проверки можно использовать и третье уравнение ($Б + Д = 70$), подставив возраст бабушки ($Б = 60$):
$60 + Д = 70$
$Д = 70 - 60$
$Д = 10$
Оба расчета дают один и тот же результат.

Ответ: дочери 10 лет.