Номер 690, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 690, страница 212.

Условие.

690 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

а) Найдите координаты точки пересечения прямых $2x + y = 2$ и $x - y = 4$ и определите, проходит ли через эту точку прямая $x + 2y = 6$.

б) Определите, проходят ли прямые $2x - 3y = 1$, $x + y = 3$ и $3x - y = 5$ через одну точку.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $2x + y = 2$ и $x - y = 4$, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых:

$ \begin{cases} 2x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases} $

Воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений системы:
$(2x + y) + (x - y) = 2 + 4$
$3x = 6$
$x = 2$

Подставим найденное значение $x = 2$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$2 - y = 4$
$-y = 4 - 2$
$-y = 2$
$y = -2$

Координаты точки пересечения двух данных прямых: $(2; -2)$.

Теперь определим, проходит ли через эту точку прямая $x + 2y = 6$. Для этого подставим координаты точки $(2; -2)$ в уравнение этой прямой:
$2 + 2 \cdot (-2) = 6$
$2 - 4 = 6$
$-2 = 6$

Мы получили неверное равенство. Это означает, что точка $(2; -2)$ не принадлежит прямой $x + 2y = 6$.

Ответ: координаты точки пересечения $(2; -2)$; прямая $x + 2y = 6$ не проходит через эту точку.

б)

Чтобы определить, проходят ли прямые $2x - 3y = 1$, $x + y = 3$ и $3x - y = 5$ через одну точку, нужно найти точку пересечения любых двух из этих прямых и затем проверить, удовлетворяют ли ее координаты уравнению третьей прямой.

Найдем точку пересечения прямых $2x - 3y = 1$ и $x + y = 3$. Для этого решим систему:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 3 - y$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(3 - y) - 3y = 1$
$6 - 2y - 3y = 1$
$6 - 5y = 1$
$-5y = -5$
$y = 1$

Теперь найдем $x$:
$x = 3 - y = 3 - 1 = 2$

Таким образом, первые две прямые пересекаются в точке с координатами $(2; 1)$.

Проверим, принадлежит ли эта точка третьей прямой $3x - y = 5$. Подставим координаты $(2; 1)$ в ее уравнение:
$3(2) - 1 = 5$
$6 - 1 = 5$
$5 = 5$

Мы получили верное равенство. Это означает, что точка $(2; 1)$ лежит на третьей прямой. Следовательно, все три прямые проходят через одну и ту же точку.

Ответ: да, прямые проходят через одну точку.