Номер 691, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 4. Системы уравнений. 4.7. Задачи на координатной плоскости. Упражнения - номер 691, страница 212.

Условие.

691 При каком значении $k$ прямые $y=\frac{1}{2}x-2$, $y=-2x-12$, $y=kx$ проходят через одну точку?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы три прямые проходили через одну и ту же точку, координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям всех трех прямых. Поскольку уравнения первых двух прямых не содержат неизвестных параметров, мы можем найти их точку пересечения, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x - 2 \\ y = -2x - 12\end{cases}$

Так как левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{1}{2}x - 2 = -2x - 12$

Теперь решим это уравнение относительно x. Перенесем все слагаемые, содержащие x, в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$\frac{1}{2}x + 2x = -12 + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{2}x + \frac{4}{2}x = -10$

$\frac{5}{2}x = -10$

Чтобы найти x, умножим обе части уравнения на $\frac{2}{5}$:

$x = -10 \cdot \frac{2}{5} = -4$

Теперь, зная координату x, найдем координату y, подставив значение $x = -4$ в любое из двух исходных уравнений. Используем второе уравнение:

$y = -2(-4) - 12 = 8 - 12 = -4$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых — это точка с координатами $(-4; -4)$.

Чтобы третья прямая $y=kx$ проходила через эту же точку, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим значения $x = -4$ и $y = -4$ в уравнение третьей прямой:

$-4 = k \cdot (-4)$

Отсюда находим значение k, разделив обе части уравнения на -4:

$k = \frac{-4}{-4} = 1$

Следовательно, при $k = 1$ все три прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: $k=1$.