Номер 696, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 696, страница 213.

Условие.

696 ИССЛЕДУЕМ

1) В одной системе координат постройте прямые:

a) $y=3x+1$ и $y=-\frac{1}{3}x+1;$

б) $y=-2x+2$ и $y=\frac{1}{2}x-3.$

2) Убедитесь, что прямые на каждом из рисунков перпендикулярны. Как связаны между собой угловые коэффициенты каждой пары прямых?

3) Запишите в буквенном виде соотношение, связывающее угловые коэффициенты перпендикулярных прямых $y=k_1x+l_1$ и $y=k_2x+l_2$.

4) Запишите уравнение какой-нибудь прямой, перпендикулярной прямой:

a) $y=-\frac{1}{4}x-1;$

б) $y=x+5.$

В каждом случае выполните чертёж.

5) Дана прямая $y=-\frac{3}{2}x+3$. Запишите уравнение прямой:

a) перпендикулярной данной прямой и проходящей через начало координат;

б) перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку $A(9; 2);$

в) пересекающей данную прямую под прямым углом в точке $M(0; 3).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для построения прямых, заданных уравнениями вида $y = kx + b$, достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих каждой прямой, отметить их в системе координат и провести через них прямую.

а) Для прямой $y = 3x + 1$:

• При $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 + 1 = 4$. Точка $(1; 4)$.

Для прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$:

• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• При $x = 3$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(3; 0)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их, получим две прямые, пересекающиеся в точке $(0; 1)$.

б) Для прямой $y = -2x + 2$:

• При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
• При $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 + 2 = 0$. Точка $(1; 0)$.

Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 3$:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(2; -2)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их, получим две прямые.

2) Две прямые, заданные уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно $-1$, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Проверим это условие для заданных пар прямых:

а) Для прямых $y = 3x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x + 1$ угловые коэффициенты равны $k_1 = 3$ и $k_2 = -\frac{1}{3}$.
Их произведение: $k_1 \cdot k_2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$. Следовательно, прямые перпендикулярны.

б) Для прямых $y = -2x + 2$ и $y = \frac{1}{2}x - 3$ угловые коэффициенты равны $k_1 = -2$ и $k_2 = \frac{1}{2}$.
Их произведение: $k_1 \cdot k_2 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$. Следовательно, прямые перпендикулярны.

Связь между угловыми коэффициентами перпендикулярных прямых заключается в том, что их произведение равно $-1$. Иначе говоря, один коэффициент является обратным по величине и противоположным по знаку другому ($k_2 = -1/k_1$).

Ответ: Угловые коэффициенты каждой пары перпендикулярных прямых являются взаимно обратными числами с противоположными знаками, их произведение равно $-1$.

3) Соотношение, связывающее угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ перпендикулярных прямых $y = k_1x + l_1$ и $y = k_2x + l_2$, записывается в виде формулы.

Ответ: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

4) Чтобы написать уравнение прямой, перпендикулярной данной, нужно найти ее угловой коэффициент $k_2$ из условия $k_1 \cdot k_2 = -1$, где $k_1$ — угловой коэффициент данной прямой. Свободный член $b$ можно выбрать произвольно. Для простоты можно выбрать $b=0$, тогда прямая будет проходить через начало координат.

а) Дана прямая $y = -\frac{1}{4}x - 1$. Ее угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{4}$. Найдем угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_2$:
$k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{-1/4} = 4$.
Возьмем, например, прямую с $b=2$. Тогда уравнение перпендикулярной прямой: $y = 4x + 2$.
Для построения чертежа:

• Прямая $y = -\frac{1}{4}x - 1$ проходит через точки $(0; -1)$ и $(4; -2)$.
• Прямая $y = 4x + 2$ проходит через точки $(0; 2)$ и $(-1; -2)$.

Ответ: $y = 4x + 2$ (возможны другие варианты).

б) Дана прямая $y = x + 5$. Ее угловой коэффициент $k_1 = 1$.
Найдем угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_2$:
$k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{1} = -1$.
Возьмем, например, прямую с $b=0$. Тогда уравнение перпендикулярной прямой: $y = -x$.
Для построения чертежа:

• Прямая $y = x + 5$ проходит через точки $(0; 5)$ и $(-5; 0)$.
• Прямая $y = -x$ проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; -1)$.

Ответ: $y = -x$ (возможны другие варианты).

5) Дана прямая $y = -\frac{3}{2}x + 3$ с угловым коэффициентом $k_1 = -\frac{3}{2}$. Угловой коэффициент $k_2$ любой прямой, перпендикулярной данной, равен: $k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{-3/2} = \frac{2}{3}$. Следовательно, уравнение искомой прямой имеет вид $y = \frac{2}{3}x + b$.

а) Прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$. Подставим эти координаты в уравнение $y = \frac{2}{3}x + b$:
$0 = \frac{2}{3} \cdot 0 + b$
$b = 0$
Уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$.

б) Прямая проходит через точку $A(9; 2)$. Подставим эти координаты в уравнение $y = \frac{2}{3}x + b$:
$2 = \frac{2}{3} \cdot 9 + b$
$2 = 6 + b$
$b = 2 - 6 = -4$
Уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x - 4$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x - 4$.

в) Прямая пересекает данную прямую под прямым углом в точке $M(0; 3)$. Это означает, что искомая перпендикулярная прямая проходит через точку $M(0; 3)$. Подставим координаты этой точки в уравнение $y = \frac{2}{3}x + b$:
$3 = \frac{2}{3} \cdot 0 + b$
$b = 3$
Уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x + 3$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x + 3$.