Номер 702, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 702, страница 216.

Условие.

702 Задайте системой неравенств множество точек координатной плоскости, изображённое на рисунках 4.40—4.43.

Рис. 4.40

$x^2 \le y \le 4$

Рис. 4.41

$x^2 \le y \le 2x$

Рис. 4.42

$0 \le y \le 2 - |x|$

Рис. 4.43

$x^2 + y^2 \le 4$

$-1 \le x \le 1$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Рис. 4.40

Заштрихованная на рисунке область представляет собой множество точек, ограниченное снизу и сверху.
Нижней границей является парабола, заданная уравнением $y = x^2$. Поскольку заштрихованная область находится над параболой (включая саму параболу, так как линия сплошная), координаты ее точек $(x, y)$ удовлетворяют неравенству $y \ge x^2$.
Верхней границей является горизонтальная прямая, заданная уравнением $y = 4$. Область находится под этой прямой (включая саму прямую), следовательно, координаты ее точек удовлетворяют неравенству $y \le 4$.
Для описания всей области необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно, что приводит к системе неравенств.

Ответ: $$ \begin{cases} y \ge x^2 \\ y \le 4 \end{cases} $$

Рис. 4.41

Заштрихованная область ограничена параболой и прямой линией.
Снизу область ограничена параболой $y = x^2$. Так как область лежит выше параболы и включает ее границу, выполняется неравенство $y \ge x^2$.
Сверху область ограничена прямой, которая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 4)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$. Подставив координаты точки $(2, 4)$, находим коэффициент наклона $k$: $4 = k \cdot 2$, откуда $k=2$. Таким образом, уравнение прямой — $y = 2x$. Область лежит ниже этой прямой, включая границу, поэтому выполняется неравенство $y \le 2x$.
Объединяя эти условия, получаем систему неравенств.

Ответ: $$ \begin{cases} y \ge x^2 \\ y \le 2x \end{cases} $$

Рис. 4.42

Заштрихованная область представляет собой треугольник, ограниченный тремя прямыми. Каждая сторона треугольника задает одно неравенство.
1. Нижняя сторона треугольника лежит на оси абсцисс, уравнение которой $y=0$. Область расположена выше этой оси, поэтому $y \ge 0$.
2. Правая верхняя сторона — это отрезок прямой, проходящей через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$. Уравнение этой прямой $y = -x + 2$. Область лежит ниже этой прямой, следовательно, $y \le -x + 2$.
3. Левая верхняя сторона — это отрезок прямой, проходящей через точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$. Уравнение этой прямой $y = x + 2$. Область лежит ниже этой прямой, следовательно, $y \le x + 2$.
Все границы сплошные, поэтому все неравенства нестрогие. Совокупность этих трех условий задает искомую область.

Ответ: $$ \begin{cases} y \ge 0 \\ y \le -x + 2 \\ y \le x + 2 \end{cases} $$

Рис. 4.43

Заштрихованная область состоит из двух сегментов, находящихся внутри окружности.
Внешней границей для обеих частей является окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=2$. Уравнение этой окружности $x^2 + y^2 = 4$. Поскольку область находится внутри окружности и включает ее границу, выполняется неравенство $x^2 + y^2 \le 4$.
Внутренние границы области — это две вертикальные прямые $x = -1$ и $x = 1$. Заштрихованная область находится слева от прямой $x = -1$ (то есть $x \le -1$) и справа от прямой $x = 1$ (то есть $x \ge 1$). Эти два условия можно объединить в одно с помощью модуля: $|x| \ge 1$. Это неравенство описывает все точки, не входящие в вертикальную полосу $-1 < x < 1$.
Таким образом, искомое множество точек задается системой двух неравенств.

Ответ: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ |x| \ge 1 \end{cases} $$