Номер 701, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 701, страница 216.

Условие.

701 Какое множество точек координатной плоскости задается условием:

а) $x^2 + y^2 \leq 1$;

б) $x^2 + y^2 \geq 9$;

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 \geq 1 \\ x^2 + y^2 < 9 \end{cases}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Уравнение вида $x^2 + y^2 = R^2$ задает на координатной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.
В данном случае неравенство $x^2 + y^2 \le 1$ можно сравнить с уравнением окружности $x^2 + y^2 = 1^2$, где радиус $R = 1$.
Неравенство означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до начала координат меньше или равен 1. Это условие выполняется для всех точек, находящихся внутри окружности радиусом 1 с центром в начале координат, а также для точек, лежащих на самой этой окружности. Такая фигура называется замкнутым кругом.
Ответ: Замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 1.

б) Рассматриваем неравенство $x^2 + y^2 \ge 9$. Границей этого множества является окружность, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 9$, или $x^2 + y^2 = 3^2$. Это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$.
Неравенство означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до начала координат больше или равен 9. Этому условию удовлетворяют все точки, лежащие на самой окружности радиусом 3, а также все точки, находящиеся вне этой окружности.
Ответ: Множество точек плоскости, расположенных на окружности с центром в начале координат и радиусом 3 или вне ее.

в) Данное условие представляет собой систему двух неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \ge 1 \\ x^2 + y^2 \le 9 \end{cases} $. Это означает, что координаты точки $(x, y)$ должны удовлетворять обоим неравенствам одновременно.
Первое неравенство $x^2 + y^2 \ge 1$ задает множество точек, лежащих на окружности радиусом $R_1 = \sqrt{1} = 1$ с центром в начале координат или вне ее.
Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$.
Пересечение этих двух множеств — это все точки, которые находятся не дальше чем на 3 единицы от начала координат, но при этом не ближе чем на 1 единицу. Геометрически это фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями. Такая фигура называется кольцом. Поскольку оба неравенства нестрогие, границы (сами окружности) включаются в искомое множество.
Ответ: Кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами 1 и 3, включая сами окружности.