Страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? Какая из пар: (5; 0) или (10; 2) – является решением системы $\begin{cases} 2x - 5y = 10 \\ x - 6y = -2 \end{cases}$?

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

Решением системы уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (например, $(x_0; y_0)$), которая при подстановке в каждое уравнение системы обращает его в верное числовое равенство. Иными словами, это пара значений переменных, которая является решением каждого из уравнений системы одновременно.

Ответ: Решением системы уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Какая из пар: (5; 0) или (10; 2) – является решением системы $\begin{cases} 2x - 5y = 10 \\ x - 6y = -2 \end{cases}$?

Чтобы определить, какая из пар является решением, необходимо последовательно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения системы.

1. Проверим пару (5; 0).

Подставляем $x=5$ и $y=0$ в уравнения системы:

Для первого уравнения: $2(5) - 5(0) = 10 - 0 = 10$. Получаем $10 = 10$. Равенство верное.

Для второго уравнения: $5 - 6(0) = 5 - 0 = 5$. Получаем $5 = -2$. Равенство неверное.

Поскольку пара (5; 0) не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы.

2. Проверим пару (10; 2).

Подставляем $x=10$ и $y=2$ в уравнения системы:

Для первого уравнения: $2(10) - 5(2) = 20 - 10 = 10$. Получаем $10 = 10$. Равенство верное.

Для второго уравнения: $10 - 6(2) = 10 - 12 = -2$. Получаем $-2 = -2$. Равенство верное.

Поскольку пара (10; 2) удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.

Ответ: (10; 2).

а) Убедитесь, что пара (6; -8) является решением системы уравнений $\begin{cases} x + y = -2 \\ x - 2y = 22 \end{cases}$ Дайте геометрическое истолкование этого факта, используя термин «точка пересечения прямых».

б) Убедитесь, что точка (3; 0) принадлежит каждой из прямых $2x - 3y = 6$ и $3x - 2y = 9$. Дайте алгебраическое истолкование этого факта, используя термин «решение системы».

а)

Чтобы убедиться, что пара чисел (6; –8) является решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x = 6$ и $y = -8$ в каждое из уравнений системы и проверить, выполняются ли равенства.

Система уравнений:$$\begin{cases} x + y = -2 \\ x - 2y = 22\end{cases}$$

1. Проверка для первого уравнения $x + y = -2$:
$6 + (-8) = 6 - 8 = -2$.
$-2 = -2$. Равенство верное.

2. Проверка для второго уравнения $x - 2y = 22$:
$6 - 2 \cdot (-8) = 6 + 16 = 22$.
$22 = 22$. Равенство верное.

Так как пара чисел (6; –8) удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.

Геометрическое истолкование: Каждое линейное уравнение с двумя переменными, такое как $x + y = -2$ и $x - 2y = 22$, графически представляет собой прямую на координатной плоскости. Решение системы таких уравнений соответствует точке, которая принадлежит обеим прямым одновременно. Такая точка является их точкой пересечения. Следовательно, тот факт, что пара (6; –8) является решением системы, означает, что точка с координатами (6; –8) — это точка пересечения прямых, заданных данными уравнениями.

Ответ: Пара (6; –8) является решением системы, так как при подстановке ее координат в оба уравнения получаются верные числовые равенства. Геометрически это означает, что точка (6; –8) является точкой пересечения прямых $x+y=-2$ и $x-2y=22$.

б)

Чтобы убедиться, что точка (3; 0) принадлежит каждой из прямых, необходимо подставить ее координаты $x = 3$ и $y = 0$ в уравнения этих прямых и проверить, выполняются ли равенства.

1. Проверка для прямой $2x - 3y = 6$:
$2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 = 6 - 0 = 6$.
$6 = 6$. Равенство верное, значит, точка (3; 0) принадлежит данной прямой.

2. Проверка для прямой $3x - 2y = 9$:
$3 \cdot 3 - 2 \cdot 0 = 9 - 0 = 9$.
$9 = 9$. Равенство верное, значит, точка (3; 0) принадлежит и этой прямой.

Алгебраическое истолкование: Факт, что точка (3; 0) принадлежит обеим прямым, означает, что ее координаты $(x=3, y=0)$ удовлетворяют как уравнению $2x - 3y = 6$, так и уравнению $3x - 2y = 9$. В алгебре пара чисел, удовлетворяющая одновременно нескольким уравнениям, называется решением системы этих уравнений. Таким образом, то, что точка (3; 0) лежит на обеих прямых, означает, что пара чисел (3; 0) есть решение системы уравнений:$$\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 3x - 2y = 9\end{cases}$$

Ответ: Точка (3; 0) принадлежит каждой из прямых, так как ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям. Алгебраически это означает, что пара чисел (3; 0) является решением системы, состоящей из уравнений $2x - 3y = 6$ и $3x - 2y = 9$.