Страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

625 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

На рисунке 4.26 изображены прямые a, b, c и d. Соотнесите каждую из них с одним из уравнений:
$y = 2x + 2$, $y = -2x + 2$,
$y = \frac{1}{3}x + 2$, $y = -\frac{1}{3}x + 2$.

Рис. 4.26

625

Для того чтобы соотнести каждую прямую с одним из уравнений, проанализируем общий вид уравнения прямой $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент, который определяет наклон прямой, а $b$ – это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Во всех четырех предложенных уравнениях ($y = 2x + 2$, $y = -2x + 2$, $y = \frac{1}{3}x + 2$ и $y = -\frac{1}{3}x + 2$) свободный член $b$ равен 2. Это означает, что все четыре прямые пересекают ось $y$ в точке с координатой $y=2$. На графике мы видим, что все прямые $a, b, c$ и $d$ действительно пересекаются в одной точке на оси $y$, и эта точка – $(0; 2)$.

Теперь проанализируем угловые коэффициенты $k$:

1. Если угловой коэффициент $k > 0$, то прямая возрастает (направлена вправо и вверх). Этому условию соответствуют прямые $c$ и $d$ и уравнения с положительными коэффициентами $k=2$ и $k=\frac{1}{3}$. Чем больше значение $k$, тем круче наклон прямой. Так как $2 > \frac{1}{3}$, более крутая прямая $c$ соответствует уравнению $y = 2x + 2$, а более пологая прямая $d$ соответствует уравнению $y = \frac{1}{3}x + 2$.

2. Если угловой коэффициент $k < 0$, то прямая убывает (направлена вправо и вниз). Этому условию соответствуют прямые $a$ и $b$ и уравнения с отрицательными коэффициентами $k=-2$ и $k=-\frac{1}{3}$. Крутизна прямой в этом случае определяется модулем коэффициента $|k|$. Чем больше $|k|$, тем круче прямая. Сравним модули: $|-2| = 2$ и $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$. Так как $2 > \frac{1}{3}$, более крутая прямая $b$ соответствует уравнению $y = -2x + 2$, а более пологая прямая $a$ — уравнению $y = -\frac{1}{3}x + 2$.

Ответ: $a$ — $y = -\frac{1}{3}x + 2$; $b$ — $y = -2x + 2$; $c$ — $y = 2x + 2$; $d$ — $y = \frac{1}{3}x + 2$.

626

Поскольку текст задания 626 представлен не полностью, будем считать, что оно относится к прямым из задания 625. Требуется определить, пересекаются ли данные прямые, и если да, то найти координаты точки пересечения и выполнить проверку.

Из графика и анализа уравнений в задании 625 следует, что все четыре прямые ($a, b, c, d$) пересекаются в одной общей точке. Эта точка является точкой их пересечения с осью $y$.

Чтобы найти координаты этой точки аналитически, можно взять любое из уравнений и найти значение $y$ при $x=0$. Возьмем уравнение $y = 2x + 2$:

$y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$

Следовательно, все прямые пересекаются в точке с координатами $(0; 2)$.

Проверим результат, подставив координаты точки $(0; 2)$ во все четыре уравнения:

Для $y = 2x + 2$: $2 = 2 \cdot 0 + 2 \implies 2 = 2$. Верно.

Для $y = -2x + 2$: $2 = -2 \cdot 0 + 2 \implies 2 = 2$. Верно.

Для $y = \frac{1}{3}x + 2$: $2 = \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \implies 2 = 2$. Верно.

Для $y = -\frac{1}{3}x + 2$: $2 = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \implies 2 = 2$. Верно.

Все уравнения обращаются в верные равенства, значит, точка пересечения найдена правильно.

Ответ: Да, данные прямые пересекаются. Координаты точки пересечения: $(0; 2)$.

626 Определите, пересекаются ли данные прямые; если пересекаются, то постройте эти прямые и найдите координаты точки пересечения; проверьте результат, подставив найденные координаты в уравнения:

Рис. 4.

а) $y = 2x - 5$ и $y = 2x + 5$

б) $y = -x + 1$ и $y = 3x + 9$

в) $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и $y = x - 3$

г) $y = -\frac{1}{3}x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x + 3$

а) $y = 2x - 5$ и $y = 2x + 5$

Уравнения прямых заданы в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.
Для первой прямой $y = 2x - 5$, угловой коэффициент $k_1 = 2$.
Для второй прямой $y = 2x + 5$, угловой коэффициент $k_2 = 2$.
Поскольку угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены $b$ различны ($-5 \neq 5$), прямые параллельны друг другу и не имеют точек пересечения.

Ответ: Прямые не пересекаются.

б) $y = -x + 1$ и $y = 3x + 9$

Угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 = -1$ и $k_2 = 3$), следовательно, прямые пересекаются.
Чтобы найти координаты точки пересечения, приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих прямых совпадают:
$-x + 1 = 3x + 9$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$1 - 9 = 3x + x$
$-8 = 4x$
$x = -2$
Теперь найдем координату $y$, подставив найденное значение $x = -2$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:
$y = -(-2) + 1 = 2 + 1 = 3$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-2; 3)$.

Для построения прямых на координатной плоскости найдем по две точки для каждой из них:
1. Для прямой $y = -x + 1$:
- при $x = 0$, $y = -0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
- при $x = 1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
2. Для прямой $y = 3x + 9$:
- при $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 + 9 = 9$. Точка $(0; 9)$.
- при $x = -3$, $y = 3(-3) + 9 = -9 + 9 = 0$. Точка $(-3; 0)$.
Построив две прямые, проходящие через эти пары точек, мы увидим, что они пересекаются в точке $(-2; 3)$.

Проверим результат, подставив координаты точки пересечения $(-2; 3)$ в оба уравнения:
1. $y = -x + 1 \Rightarrow 3 = -(-2) + 1 \Rightarrow 3 = 2 + 1 \Rightarrow 3 = 3$. Верно.
2. $y = 3x + 9 \Rightarrow 3 = 3(-2) + 9 \Rightarrow 3 = -6 + 9 \Rightarrow 3 = 3$. Верно.
Координаты найдены правильно.

Ответ: Прямые пересекаются в точке $(-2; 3)$.

в) $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и $y = x - 3$

Угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 = -\frac{1}{2}$ и $k_2 = 1$), значит, прямые пересекаются.
Найдем координаты точки пересечения, приравняв правые части уравнений:
$-\frac{1}{2}x + 3 = x - 3$
$3 + 3 = x + \frac{1}{2}x$
$6 = \frac{3}{2}x$
$x = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$
Найдем $y$, подставив $x = 4$ во второе уравнение:
$y = 4 - 3 = 1$
Точка пересечения имеет координаты $(4; 1)$.

Для построения прямых найдем по две точки для каждой:
1. Для прямой $y = -\frac{1}{2}x + 3$:
- при $x = 0$, $y = 3$. Точка $(0; 3)$.
- при $x = 2$, $y = -\frac{1}{2}(2) + 3 = -1 + 3 = 2$. Точка $(2; 2)$.
2. Для прямой $y = x - 3$:
- при $x = 0$, $y = -3$. Точка $(0; -3)$.
- при $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка $(3; 0)$.
Построив прямые через эти точки, можно убедиться, что они пересекаются в точке $(4; 1)$.

Проверим результат подстановкой координат $(4; 1)$ в оба уравнения:
1. $y = -\frac{1}{2}x + 3 \Rightarrow 1 = -\frac{1}{2}(4) + 3 \Rightarrow 1 = -2 + 3 \Rightarrow 1 = 1$. Верно.
2. $y = x - 3 \Rightarrow 1 = 4 - 3 \Rightarrow 1 = 1$. Верно.

Ответ: Прямые пересекаются в точке $(4; 1)$.

г) $y = -\frac{1}{3}x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x + 3$

Угловые коэффициенты обеих прямых одинаковы: $k_1 = k_2 = -\frac{1}{3}$.
Свободные члены различны: $b_1 = 1$ и $b_2 = 3$.
Поскольку угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: Прямые не пересекаются.

627 а) Парусная лодка в некоторый момент времени находится в 20 км от наблюдателя и движется в направлении к нему со скоростью 9 км/ч.

1) Обозначьте расстояние между лодкой и наблюдателем (в километрах) буквой $y$, а время движения лодки (в часах) буквой $x$ и составьте уравнение, связывающее $y$ и $x$. Определите значение $y$ при $x = 2$, $x = -1$, $x = 3$. Прокомментируйте в соответствии с условием задачи каждый ответ.

2) Постройте график уравнения.

б) После сильных дождей вода в реке поднялась над обычным уровнем на 1,5 м. Через некоторое время уровень начал снижаться в среднем на 20 см в час.

1) Обозначьте высоту воды над обычным уровнем (в метрах) буквой $y$, а время снижения уровня воды (в часах) буквой $x$ и составьте уравнение, связывающее $y$ и $x$. Определите, на какой высоте над обычным уровнем окажется вода через 4 ч после начала снижения; через какое время вода достигнет обычного уровня.

2) Постройте график уравнения.

а)

1) Обозначим расстояние между лодкой и наблюдателем (в км) как $y$, а время движения лодки (в часах) как $x$.

В начальный момент времени ($x=0$), расстояние составляет 20 км. Лодка движется к наблюдателю со скоростью 9 км/ч, это означает, что расстояние между ними уменьшается. За время $x$ лодка пройдет расстояние, равное $9x$ км. Таким образом, расстояние $y$ через $x$ часов будет равно начальному расстоянию минус пройденное расстояние.

Уравнение, связывающее $y$ и $x$, имеет вид:

$y = 20 - 9x$

Теперь определим значение $y$ для заданных значений $x$:

• При $x = 2$:

  $y = 20 - 9 \cdot 2 = 20 - 18 = 2$ км.

  Комментарий: Через 2 часа после начала движения лодка будет находиться на расстоянии 2 км от наблюдателя. Это логично, так как она приблизилась к нему.

• При $x = -1$:

  $y = 20 - 9 \cdot (-1) = 20 + 9 = 29$ км.

  Комментарий: $x = -1$ означает время за 1 час до начального момента наблюдения. В этот момент лодка была на 9 км дальше от наблюдателя, то есть на расстоянии 29 км. Этот результат имеет физический смысл.

• При $x = 3$:

  $y = 20 - 9 \cdot 3 = 20 - 27 = -7$ км.

  Комментарий: Отрицательное значение расстояния означает, что лодка уже миновала наблюдателя. Лодка достигнет наблюдателя ($y=0$) через $x = 20/9 \approx 2.22$ часа. Следовательно, в момент времени $x=3$ часа, она будет уже на 7 км за наблюдателем. Расстояние как физическая величина не может быть отрицательным, поэтому в этот момент оно составит 7 км.

Ответ: уравнение $y = 20 - 9x$. При $x=2, y=2$ км; при $x=-1, y=29$ км; при $x=3, y=-7$ км (что означает, лодка прошла мимо наблюдателя и находится на расстоянии 7 км от него).

2) Графиком уравнения $y = 20 - 9x$ является прямая линия. Для ее построения достаточно найти две точки.

Возьмем точки, рассчитанные ранее:

• Точка пересечения с осью $y$ (начальный момент): при $x=0, y=20$. Координаты точки $(0, 20)$.

• Точка пересечения с осью $x$ (момент встречи): при $y=0$, $20 - 9x = 0 \implies x = 20/9 \approx 2.22$. Координаты точки $(20/9, 0)$.

Для построения графика нужно на координатной плоскости отметить эти две точки и провести через них прямую линию. Ось абсцисс ($x$) будет представлять время в часах, а ось ординат ($y$) – расстояние в километрах. График будет убывающим, так как угловой коэффициент равен -9.

Ответ: Графиком является прямая линия, проходящая через точки $(0, 20)$ и $(20/9, 0)$.

б)

1) Обозначим высоту воды над обычным уровнем (в метрах) как $y$, а время снижения уровня воды (в часах) как $x$.

В начальный момент времени ($x=0$) вода находится на высоте 1,5 м над обычным уровнем. Уровень снижается со скоростью 20 см в час. Переведем скорость снижения в метры в час, чтобы единицы измерения были одинаковыми:

20 см/ч = 0,2 м/ч.

За время $x$ уровень воды снизится на $0.2x$ метров. Таким образом, высота $y$ через $x$ часов будет равна начальной высоте минус величина снижения.

Уравнение, связывающее $y$ и $x$, имеет вид:

$y = 1.5 - 0.2x$

Определим, на какой высоте окажется вода через 4 часа после начала снижения. Для этого подставим $x=4$ в уравнение:

$y = 1.5 - 0.2 \cdot 4 = 1.5 - 0.8 = 0.7$ м.

Определим, через какое время вода достигнет обычного уровня. Обычный уровень соответствует высоте $y=0$:

$0 = 1.5 - 0.2x$

$0.2x = 1.5$

$x = 1.5 / 0.2 = 15 / 2 = 7.5$ часов.

Ответ: уравнение $y = 1.5 - 0.2x$. Через 4 часа вода окажется на высоте 0,7 м над обычным уровнем. Вода достигнет обычного уровня через 7,5 часов.

2) Графиком уравнения $y = 1.5 - 0.2x$ является прямая линия. Для ее построения найдем две точки.

• Точка пересечения с осью $y$ (начальный момент): при $x=0, y=1.5$. Координаты точки $(0, 1.5)$.

• Точка пересечения с осью $x$ (момент достижения обычного уровня): при $y=0, x=7.5$. Координаты точки $(7.5, 0)$.

В контексте задачи время $x$ и высота $y$ не могут быть отрицательными, поэтому график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 1.5)$ и $(7.5, 0)$. Ось абсцисс ($x$) – время в часах, ось ординат ($y$) – высота над обычным уровнем в метрах.

Ответ: Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 1.5)$ и $(7.5, 0)$.