Страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

612 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

На рисунке 4.21 изображены прямые a, b и с с угловыми коэффициентами $\frac{3}{2}$, $-\frac{3}{2}$ и 0. Назовите угловой коэффициент каждой из прямых.

Рис. 4.21

612.

Угловой коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx + b$ определяет её наклон.
— Если $k > 0$, прямая является возрастающей (идет вверх слева направо).
— Если $k < 0$, прямая является убывающей (идет вниз слева направо).
— Если $k = 0$, прямая горизонтальна (параллельна оси $x$).

Проанализируем прямые на рисунке 4.21, используя данные угловые коэффициенты: $\frac{3}{2}$, $-\frac{3}{2}$ и $0$.

Прямая a является горизонтальной, следовательно, её угловой коэффициент равен $0$.

Прямая b проходит через начало координат и является убывающей (идет вниз). Это значит, что её угловой коэффициент должен быть отрицательным. Из предложенных вариантов подходит $-\frac{3}{2}$.

Прямая c проходит через начало координат и является возрастающей (идет вверх). Её угловой коэффициент должен быть положительным. Из предложенных вариантов подходит $\frac{3}{2}$.

Ответ: угловой коэффициент прямой $a$ равен $0$; прямой $b$ — $-\frac{3}{2}$; прямой $c$ — $\frac{3}{2}$.

613.

Все графики уравнений вида $y=kx$ — это прямые, которые проходят через начало координат (0,0). Их расположение в координатной плоскости зависит от знака и величины (модуля) углового коэффициента $k$.

а) $y = 10x$
Угловой коэффициент $k = 10$. Так как $k > 0$, прямая возрастает и расположена в I и III координатных четвертях. Поскольку модуль коэффициента $|k| = 10$ велик (значительно больше 1), график представляет собой очень крутую прямую, расположенную близко к оси $y$.
Ответ: График — это прямая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III четвертях и образующая малый угол с осью $y$.

б) $y = -8x$
Угловой коэффициент $k = -8$. Так как $k < 0$, прямая убывает и расположена во II и IV координатных четвертях. Поскольку модуль коэффициента $|k| = 8$ велик (значительно больше 1), график представляет собой очень крутую прямую, расположенную близко к оси $y$.
Ответ: График — это прямая, проходящая через начало координат, расположенная во II и IV четвертях и образующая малый угол с осью $y$.

в) $y = 0,3x$
Угловой коэффициент $k = 0,3$. Так как $k > 0$, прямая возрастает и расположена в I и III координатных четвертях. Поскольку модуль коэффициента $|k| = 0,3$ мал ($0 < |k| < 1$), график представляет собой пологую прямую, расположенную близко к оси $x$.
Ответ: График — это прямая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III четвертях и образующая малый угол с осью $x$.

г) $y = -1,2x$
Угловой коэффициент $k = -1,2$. Так как $k < 0$, прямая убывает и расположена во II и IV координатных четвертях. Поскольку модуль коэффициента $|k| = 1,2 > 1$, прямая является крутой (круче, чем прямая $y = -x$), то есть расположена ближе к оси $y$, чем к оси $x$.
Ответ: График — это прямая, проходящая через начало координат, расположенная во II и IV четвертях, которая находится ближе к оси $y$, чем к оси $x$.

613 Покажите схематически, как в координатной плоскости расположен график уравнения:

а) $y = 10x$;

б) $y = -8x$;

в) $y = 0,3x$;

г) $y = -1,2x$.

Все представленные уравнения имеют вид $y = kx$. Это уравнения прямой пропорциональности, графиком которой является прямая линия, проходящая через начало координат — точку $(0; 0)$. Расположение прямой в координатной плоскости зависит от значения углового коэффициента $k$.

• Если $k > 0$, то прямая расположена в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, то прямая расположена во II и IV координатных четвертях.
• Чем больше абсолютное значение коэффициента $|k|$, тем "круче" прямая, то есть она расположена ближе к оси OY.

а)

В уравнении $y = 10x$ коэффициент $k = 10$.

Так как $k > 0$, график расположен в I и III координатных четвертях. Поскольку $|k| = 10$ — это большое значение, прямая будет очень "крутой", то есть будет составлять большой острый угол с положительным направлением оси OX. Для построения можно взять вторую точку, например, при $x=1$, $y=10 \cdot 1 = 10$. Прямая проходит через точки $(0;0)$ и $(1;10)$.

Ответ: График — прямая линия, проходящая через начало координат и расположенная в I и III четвертях. Прямая имеет крутой наклон вверх (слева направо).

б)

В уравнении $y = -8x$ коэффициент $k = -8$.

Так как $k < 0$, график расположен во II и IV координатных четвертях. Поскольку $|k| = |-8| = 8$ — это большое значение, прямая будет очень "крутой", но с отрицательным наклоном. Для построения можно взять вторую точку, например, при $x=1$, $y=-8 \cdot 1 = -8$. Прямая проходит через точки $(0;0)$ и $(1;-8)$.

Ответ: График — прямая линия, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV четвертях. Прямая имеет крутой наклон вниз (слева направо).

в)

В уравнении $y = 0,3x$ коэффициент $k = 0,3$.

Так как $k > 0$, график расположен в I и III координатных четвертях. Поскольку $|k| = 0,3 < 1$, прямая будет "пологой", то есть будет составлять малый острый угол с положительным направлением оси OX. Для построения можно взять вторую точку, например, при $x=10$, $y=0,3 \cdot 10 = 3$. Прямая проходит через точки $(0;0)$ и $(10;3)$.

Ответ: График — прямая линия, проходящая через начало координат и расположенная в I и III четвертях. Прямая имеет пологий наклон вверх (слева направо).

г)

В уравнении $y = -1,2x$ коэффициент $k = -1,2$.

Так как $k < 0$, график расположен во II и IV координатных четвертях. Поскольку $|k| = |-1,2| = 1,2 > 1$, прямая будет наклонена к оси OY больше, чем к оси OX. Угол, который она образует с положительным направлением оси OX, тупой. Для построения можно взять вторую точку, например, при $x=5$, $y=-1,2 \cdot 5 = -6$. Прямая проходит через точки $(0;0)$ и $(5;-6)$.

Ответ: График — прямая линия, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV четвертях. Прямая имеет наклон вниз (слева направо), более крутой, чем у прямой $y=-x$.

614 Прямые заданы уравнениями

$y=\frac{1}{2}x+1$, $y=\frac{1}{2}x-4$, $y=\frac{1}{2}x$.

1) Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?

2) Каково взаимное расположение этих прямых на плоскости?

3) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

4) Постройте эти прямые.

1) Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (он показывает тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox), а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью Oy.
Рассмотрим каждое из заданных уравнений:
1. Для прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$, коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Следовательно, угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$.
2. Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 4$, коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Следовательно, угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$.
3. Для прямой $y = \frac{1}{2}x$, коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Следовательно, угловой коэффициент $k_3 = \frac{1}{2}$.

Ответ: Угловой коэффициент каждой из трех прямых равен $\frac{1}{2}$.

2) Каково взаимное расположение этих прямых на плоскости?

Взаимное расположение прямых на плоскости определяется их угловыми коэффициентами ($k$) и сдвигами по оси y ($b$).
Если угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2$), а сдвиги различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны.
Если угловые коэффициенты и сдвиги равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то прямые совпадают.
Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются.
В нашем случае у всех трех прямых угловые коэффициенты одинаковы: $k_1 = k_2 = k_3 = \frac{1}{2}$.
Однако их сдвиги по оси y различны: $b_1 = 1$, $b_2 = -4$, $b_3 = 0$.
Поскольку угловые коэффициенты равны, а сдвиги различны, все три прямые параллельны друг другу.

Ответ: Прямые параллельны друг другу.

3) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

Прямая пересекает ось y в точке, где координата $x$ равна нулю. Чтобы найти эту точку, нужно подставить $x=0$ в уравнение каждой прямой. Координата y этой точки также соответствует коэффициенту $b$ в уравнении $y = kx + b$.
1. Для прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$:
При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) + 1 = 1$. Точка пересечения с осью y: $(0, 1)$.
2. Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 4$:
При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) - 4 = -4$. Точка пересечения с осью y: $(0, -4)$.
3. Для прямой $y = \frac{1}{2}x$:
При $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) = 0$. Точка пересечения с осью y: $(0, 0)$.

Ответ: Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ пересекает ось y в точке $(0, 1)$; прямая $y = \frac{1}{2}x - 4$ – в точке $(0, -4)$; прямая $y = \frac{1}{2}x$ – в точке $(0, 0)$.

4) Постройте эти прямые.

Для построения каждой прямой на координатной плоскости достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Одну точку для каждой прямой мы уже нашли — это точка пересечения с осью Oy. Найдем вторую точку для каждой прямой, взяв, например, $x=2$.

Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$:
Точка 1: $(0, 1)$.
При $x=2$, $y = \frac{1}{2}(2) + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка 2: $(2, 2)$.
Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(2, 2)$.

Прямая $y = \frac{1}{2}x - 4$:
Точка 1: $(0, -4)$.
При $x=2$, $y = \frac{1}{2}(2) - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка 2: $(2, -3)$.
Проводим прямую через точки $(0, -4)$ и $(2, -3)$.

Прямая $y = \frac{1}{2}x$:
Точка 1: $(0, 0)$ (начало координат).
При $x=2$, $y = \frac{1}{2}(2) = 1$. Точка 2: $(2, 1)$.
Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

В результате на графике мы увидим три параллельные прямые, проходящие через вычисленные точки. Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ будет расположена выше всех, прямая $y = \frac{1}{2}x$ пройдет через начало координат, а прямая $y = \frac{1}{2}x - 4$ — ниже всех.

Ответ: Для построения прямых необходимо найти по две точки для каждой функции, нанести их на координатную плоскость и соединить.
Для $y = \frac{1}{2}x + 1$ точки: $(0, 1)$ и $(2, 2)$.
Для $y = \frac{1}{2}x - 4$ точки: $(0, -4)$ и $(2, -3)$.
Для $y = \frac{1}{2}x$ точки: $(0, 0)$ и $(2, 1)$.
Графиком будут три параллельные прямые.

615 В одной системе координат постройте прямые, заданные уравнениями вида $y = kx + l$ с одним и тем же угловым коэффициентом $-\frac{2}{3}$ и коэффициентом $l$, равным 0; 1; 3; -2; -6.

Задача состоит в том, чтобы в одной и той же системе координат построить пять прямых. Все прямые описываются общим уравнением вида $y = kx + l$. Согласно условию, угловой коэффициент (наклон) $k$ для всех прямых одинаков и равен $-\frac{2}{3}$, а свободный член $l$ (также известный как ордината точки пересечения с осью $y$) принимает различные значения: $0, 1, 3, -2, -6$.

Так как угловой коэффициент $k$ у всех прямых одинаков, они будут параллельны друг другу. Коэффициент $l$ определяет точку пересечения прямой с осью ординат $OY$, которая имеет координаты $(0, l)$.

Для построения каждой прямой необходимо найти координаты как минимум двух точек, принадлежащих этой прямой.

Для l = 0

Уравнение прямой: $y = -\frac{2}{3}x$.

Найдем две точки для построения:

• При $x=0$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 0 = 0$. Первая точка имеет координаты $(0, 0)$.
• Для удобства вычислений выберем $x$, кратное 3. Пусть $x=3$, тогда $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2$. Вторая точка имеет координаты $(3, -2)$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = -\frac{2}{3}x$, проходит через точки с координатами $(0, 0)$ и $(3, -2)$.

Для l = 1

Уравнение прямой: $y = -\frac{2}{3}x + 1$.

Найдем две точки для построения:

• При $x=0$, $y = 1$. Первая точка имеет координаты $(0, 1)$.
• При $x=3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 + 1 = -2 + 1 = -1$. Вторая точка имеет координаты $(3, -1)$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = -\frac{2}{3}x + 1$, проходит через точки с координатами $(0, 1)$ и $(3, -1)$.

Для l = 3

Уравнение прямой: $y = -\frac{2}{3}x + 3$.

Найдем две точки для построения:

• При $x=0$, $y = 3$. Первая точка имеет координаты $(0, 3)$.
• При $x=3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 + 3 = -2 + 3 = 1$. Вторая точка имеет координаты $(3, 1)$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = -\frac{2}{3}x + 3$, проходит через точки с координатами $(0, 3)$ и $(3, 1)$.

Для l = -2

Уравнение прямой: $y = -\frac{2}{3}x - 2$.

Найдем две точки для построения:

• При $x=0$, $y = -2$. Первая точка имеет координаты $(0, -2)$.
• При $x=3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 - 2 = -2 - 2 = -4$. Вторая точка имеет координаты $(3, -4)$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = -\frac{2}{3}x - 2$, проходит через точки с координатами $(0, -2)$ и $(3, -4)$.

Для l = -6

Уравнение прямой: $y = -\frac{2}{3}x - 6$.

Найдем две точки для построения:

• При $x=0$, $y = -6$. Первая точка имеет координаты $(0, -6)$.
• При $x=3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 - 6 = -2 - 6 = -8$. Вторая точка имеет координаты $(3, -8)$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = -\frac{2}{3}x - 6$, проходит через точки с координатами $(0, -6)$ и $(3, -8)$.

Теперь построим все пять прямых в одной системе координат. Каждая прямая строится по двум найденным точкам. На графике ниже показан результат построения. Все прямые параллельны, что подтверждает наши первоначальные выводы.

616 На рисунке 4.22 изображены прямые a, b, c и d. Соотнесите каждую из них с одним из следующих уравнений:

$y = \frac{3}{2}x$, $y = \frac{3}{2}x + 5$, $y = \frac{3}{2}x + 2$, $y = \frac{3}{2}x - 4$.

617 На рисунке 4.23 изображены прямые a, b, c, d, e. У каких из них угловой коэффициент положителен? отрицателен? равен 0?

Рис. 4.22

Рис. 4.23

616

Все предложенные уравнения имеют вид $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = \frac{3}{2}$. Поскольку угловые коэффициенты всех прямых одинаковы, эти прямые параллельны друг другу, что мы и видим на рисунке 4.22.

Чтобы соотнести каждую прямую с ее уравнением, нужно проанализировать свободный член $b$, который показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат ($y$).

• Уравнение $y = \frac{3}{2}x + 5$ имеет $b = 5$. Это самая высокая точка пересечения с осью $y$ среди всех вариантов. На графике это прямая a.
• Уравнение $y = \frac{3}{2}x + 2$ имеет $b = 2$. На графике видно, что прямая b пересекает ось $y$ в точке $(0; 2)$.
• Уравнение $y = \frac{3}{2}x$ имеет $b = 0$. Это означает, что прямая проходит через начало координат $(0; 0)$. На графике это прямая c.
• Уравнение $y = \frac{3}{2}x - 4$ имеет $b = -4$. Это самая низкая точка пересечения с осью $y$. На графике это прямая d.

Ответ: a: $y = \frac{3}{2}x + 5$; b: $y = \frac{3}{2}x + 2$; c: $y = \frac{3}{2}x$; d: $y = \frac{3}{2}x - 4$.

617

Угловой коэффициент прямой (обозначается как $k$ в уравнении $y = kx + b$) определяет ее наклон.

• Положительный угловой коэффициент ($k > 0$): прямая направлена вверх при движении слева направо (возрастает). Угол между такой прямой и положительным направлением оси $x$ — острый.
• Отрицательный угловой коэффициент ($k < 0$): прямая направлена вниз при движении слева направо (убывает). Угол между такой прямой и положительным направлением оси $x$ — тупой.
• Угловой коэффициент равен 0 ($k = 0$): прямая горизонтальна, то есть параллельна оси $x$.

Применительно к прямым на рисунке 4.23:

• Прямые a и e возрастают, следовательно, их угловые коэффициенты положительны.
• Прямые c и d убывают, следовательно, их угловые коэффициенты отрицательны.
• Прямая b горизонтальна, следовательно, ее угловой коэффициент равен 0.

Ответ: Угловой коэффициент положителен у прямых a и e; отрицателен у прямых c и d; равен 0 у прямой b.

617 На рисунке 4.23 изображены прямые a, b, c, d, e. У каких из них угловой коэффициент положителен? отрицателен? равен 0?

Рис. 4.22

Рис. 4.23

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент. Знак углового коэффициента $k$ определяет наклон прямой относительно оси абсцисс (Ox).

• Если $k > 0$ (положительный), то прямая "возрастает" (идет вверх слева направо) и образует острый угол с положительным направлением оси Ox.
• Если $k < 0$ (отрицательный), то прямая "убывает" (идет вниз слева направо) и образует тупой угол с положительным направлением оси Ox.
• Если $k = 0$, то прямая горизонтальна, то есть параллельна оси Ox.

Применим эти правила к прямым, изображенным на рисунке 4.23.

положителен?
Положительный угловой коэффициент имеют возрастающие прямые. На графике видно, что прямые a и e идут вверх при движении по ним слева направо. Они образуют острый угол с положительным направлением оси x.
Ответ: у прямых a и e.

отрицателен?
Отрицательный угловой коэффициент имеют убывающие прямые. На графике прямые c и d идут вниз при движении по ним слева направо. Они образуют тупой угол с положительным направлением оси x.
Ответ: у прямых c и d.

равен 0?
Нулевой угловой коэффициент имеет прямая, которая параллельна оси абсцисс. На графике это прямая b, которая является горизонтальной линией.
Ответ: у прямой b.