Страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

598 Постройте в одной и той же системе координат следующие прямые: $3x + 2y - 18 = 0$, $x + 2y - 13 = 0$, $3x - 15 = 0$ и $2y - 12 = 0$.

Определите координаты точек пересечения:

a) прямых $3x + 2y - 18 = 0$ и $2y - 12 = 0$;

б) прямых $x + 2y - 13 = 0$ и $3x - 15 = 0$.

Для построения графиков прямых в одной системе координат, приведем их уравнения к более удобному виду и найдем по две точки для каждой прямой (кроме тех, что параллельны осям координат).

1. Прямая $3x + 2y - 18 = 0$
Выразим y через x: $2y = -3x + 18 \Rightarrow y = -1.5x + 9$.
Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 9$. Точка (0, 9).
• Если $x = 6$, то $y = -1.5 \cdot 6 + 9 = -9 + 9 = 0$. Точка (6, 0).

2. Прямая $x + 2y - 13 = 0$
Выразим y через x: $2y = -x + 13 \Rightarrow y = -0.5x + 6.5$.
Найдем две точки:

• Если $x = 1$, то $y = -0.5 \cdot 1 + 6.5 = 6$. Точка (1, 6).
• Если $x = 5$, то $y = -0.5 \cdot 5 + 6.5 = -2.5 + 6.5 = 4$. Точка (5, 4).

3. Прямая $3x - 15 = 0$
$3x = 15 \Rightarrow x = 5$.
Это вертикальная прямая, проходящая через точку (5, 0) параллельно оси Oy.

4. Прямая $2y - 12 = 0$
$2y = 12 \Rightarrow y = 6$.
Это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 6) параллельно оси Ox.

Построив эти прямые в одной системе координат, мы можем найти точки их пересечения. Для точности найдем координаты точек пересечения аналитически, решив соответствующие системы уравнений.

а) прямых $3x + 2y - 18 = 0$ и $2y - 12 = 0$;

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 2y - 18 = 0 \\ 2y - 12 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения находим y: $$ 2y = 12 $$ $$ y = 6 $$ Подставим значение $y = 6$ в первое уравнение: $$ 3x + 2(6) - 18 = 0 $$ $$ 3x + 12 - 18 = 0 $$ $$ 3x - 6 = 0 $$ $$ 3x = 6 $$ $$ x = 2 $$ Координаты точки пересечения (2, 6).
Ответ: (2, 6).

б) прямых $x + 2y - 13 = 0$ и $3x - 15 = 0$.

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y - 13 = 0 \\ 3x - 15 = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения находим x: $$ 3x = 15 $$ $$ x = 5 $$ Подставим значение $x = 5$ в первое уравнение: $$ 5 + 2y - 13 = 0 $$ $$ 2y - 8 = 0 $$ $$ 2y = 8 $$ $$ y = 4 $$ Координаты точки пересечения (5, 4).
Ответ: (5, 4).

599 Прямые $5x + 2y = 10$, $x = -2$, $y = -5$, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Вычислите его площадь.

Для вычисления площади треугольника, образованного тремя прямыми, сначала найдем координаты его вершин. Вершины — это точки попарного пересечения заданных прямых: $5x + 2y = 10$, $x = -2$ и $y = -5$.

Нахождение вершин треугольника

Вершина A (пересечение прямых $x = -2$ и $y = -5$)
Координаты этой точки сразу определяются уравнениями: $x = -2$, $y = -5$.
Следовательно, вершина A имеет координаты $(-2, -5)$.

Вершина B (пересечение прямых $5x + 2y = 10$ и $x = -2$)
Подставим $x = -2$ в первое уравнение:
$5(-2) + 2y = 10$
$-10 + 2y = 10$
$2y = 20$
$y = 10$
Следовательно, вершина B имеет координаты $(-2, 10)$.

Вершина C (пересечение прямых $5x + 2y = 10$ и $y = -5$)
Подставим $y = -5$ в первое уравнение:
$5x + 2(-5) = 10$
$5x - 10 = 10$
$5x = 20$
$x = 4$
Следовательно, вершина C имеет координаты $(4, -5)$.

Вычисление площади треугольника

Итак, мы имеем вершины треугольника: A(-2, -5), B(-2, 10) и C(4, -5).
Заметим, что прямая, проходящая через точки A и B, является вертикальной ($x = -2$), а прямая, проходящая через точки A и C, — горизонтальной ($y = -5$). Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине A.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Длина катета AB (вертикальный отрезок) вычисляется как модуль разности y-координат:
$|AB| = |y_B - y_A| = |10 - (-5)| = |15| = 15$.

Длина катета AC (горизонтальный отрезок) вычисляется как модуль разности x-координат:
$|AC| = |x_C - x_A| = |4 - (-2)| = |6| = 6$.

Теперь можем найти площадь $S$ треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 = 45$.

Ответ: 45.

РАССУЖДАЕМ (600–603)

600 В одной системе координат постройте прямые $x - 2y = 6$ и $x - 2y = -1$. Объясните, почему эти прямые не имеют общей точки.

Построение прямых

Для построения графиков прямых, заданных уравнениями $x - 2y = 6$ и $x - 2y = -1$, сначала приведем эти уравнения к стандартному виду прямой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью OY.

1. Прямая $x - 2y = 6$

Выразим переменную $y$ из уравнения:

$-2y = -x + 6$

Разделим обе части на -2:

$y = \frac{1}{2}x - 3$

Для построения прямой найдем координаты двух ее точек, например, точек пересечения с осями координат:

- При $x = 0$, $y = \frac{1}{2}(0) - 3 = -3$. Получаем точку с координатами (0; -3).

- При $y = 0$, $0 = \frac{1}{2}x - 3$, откуда $\frac{1}{2}x = 3$ и $x = 6$. Получаем точку с координатами (6; 0).

Отметив на координатной плоскости точки (0; -3) и (6; 0) и проведя через них прямую, получим график уравнения $x - 2y = 6$.

2. Прямая $x - 2y = -1$

Аналогично выразим переменную $y$ из второго уравнения:

$-2y = -x - 1$

Разделим обе части на -2:

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Найдем две точки для построения этой прямой:

- При $x = 0$, $y = \frac{1}{2}(0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Получаем точку с координатами (0; 0,5).

- При $x = -1$, $y = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$. Получаем точку с координатами (-1; 0).

Отметив на той же координатной плоскости точки (0; 0,5) и (-1; 0) и проведя через них прямую, получим график уравнения $x - 2y = -1$.

Объяснение, почему эти прямые не имеют общей точки

Существует два основных способа это доказать.

Способ 1: Геометрический (анализ уравнений прямых)

Мы привели уравнения к виду $y = kx + b$:

- Уравнение первой прямой: $y = \frac{1}{2}x - 3$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$ и свободный член $b_1 = -3$.

- У

601 1) Выпишите уравнения, которые задают ту же прямую, что и уравнение $2x + 3y = 5$:

$4x + 6y = 10$, $2x + 3y = 12$, $0,2x + 0,3y = 0,5$,

$4x + 6y = 5$, $-6x - 9y = -15$, $2x - 3y = 5$.

2) Составьте несколько уравнений, которые задают ту же самую прямую, что и уравнение $2x - y = 10$.

1)

Два уравнения задают одну и ту же прямую, если одно из них можно получить из другого путем умножения или деления всех его членов на одно и то же число, не равное нулю. Иными словами, коэффициенты при переменных и свободные члены должны быть пропорциональны.

Исходное уравнение: $2x + 3y = 5$.

Проанализируем каждое из предложенных уравнений:

• $4x + 6y = 10$. Если мы умножим исходное уравнение $2x + 3y = 5$ на 2, мы получим $2(2x + 3y) = 2 \cdot 5$, что равносильно $4x + 6y = 10$. Следовательно, это уравнение задает ту же прямую.

• $2x + 3y = 12$. Левые части уравнений ($2x + 3y$) совпадают, но правые части различны ($5 \neq 12$). Это уравнение задает другую прямую, которая параллельна исходной.

• $0.2x + 0.3y = 0.5$. Если мы разделим исходное уравнение $2x + 3y = 5$ на 10, мы получим $\frac{2x}{10} + \frac{3y}{10} = \frac{5}{10}$, что равносильно $0.2x + 0.3y = 0.5$. Следовательно, это уравнение задает ту же прямую.

• $4x + 6y = 5$. Левая часть этого уравнения ($4x+6y$) в 2 раза больше левой части исходного, но правая часть ($5$) не в 2 раза больше правой части исходного ($2 \cdot 5 = 10$). Это уравнение задает другую, параллельную прямую.

• $-6x - 9y = -15$. Если мы умножим исходное уравнение $2x + 3y = 5$ на -3, мы получим $-3(2x + 3y) = -3 \cdot 5$, что равносильно $-6x - 9y = -15$. Следовательно, это уравнение задает ту же прямую.

• $2x - 3y = 5$. Коэффициент при $y$ отличается знаком ($-3$ вместо $3$). Пропорциональность коэффициентов нарушена. Это уравнение задает другую прямую.

Ответ: $4x + 6y = 10$; $0.2x + 0.3y = 0.5$; $-6x - 9y = -15$.

2)

Чтобы составить несколько уравнений, которые задают ту же самую прямую, что и уравнение $2x - y = 10$, необходимо умножить обе части этого уравнения на произвольное ненулевое число.

Приведем несколько примеров:

• Умножим уравнение на 2: $2(2x - y) = 2 \cdot 10 \implies 4x - 2y = 20$.

• Умножим уравнение на -1: $-1(2x - y) = -1 \cdot 10 \implies -2x + y = -10$.

• Разделим уравнение на 2 (или умножим на 0,5): $\frac{2x - y}{2} = \frac{10}{2} \implies x - 0.5y = 5$.

Ответ: Например, $4x - 2y = 20$; $-2x + y = -10$; $x - 0.5y = 5$.

602 a) Известно, что прямая $ax + 3y = 5$ проходит через точку (10; -5). Найдите коэффициент $a$ и постройте эту прямую.

б) Известно, что прямая $5x + by = 2$ проходит через точку (-2; 4). Найдите коэффициент $b$ и постройте эту прямую.

а)

Дано уравнение прямой $ax + 3y = 5$. Известно, что эта прямая проходит через точку с координатами $(10; -5)$. Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению прямой. Чтобы найти неизвестный коэффициент $a$, подставим значения $x = 10$ и $y = -5$ в исходное уравнение:

$a \cdot 10 + 3 \cdot (-5) = 5$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$10a - 15 = 5$

$10a = 5 + 15$

$10a = 20$

$a = \frac{20}{10}$

$a = 2$

Таким образом, коэффициент $a$ равен 2, и уравнение прямой имеет вид: $2x + 3y = 5$.

Для построения прямой на координатной плоскости необходимо найти две точки, через которые она проходит. Одна точка нам уже дана — это $(10; -5)$. Найдем вторую точку. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), для этого положим $x = 0$:

$2 \cdot 0 + 3y = 5$

$3y = 5$

$y = \frac{5}{3}$

Получили вторую точку с координатами $(0; \frac{5}{3})$.

Теперь, отметив на координатной плоскости точки $(10; -5)$ и $(0; \frac{5}{3})$ и соединив их прямой линией, мы построим график данной прямой.

Ответ: $a = 2$.

б)

Дано уравнение прямой $5x + by = 2$. Известно, что эта прямая проходит через точку с координатами $(-2; 4)$. Аналогично предыдущему пункту, подставим значения $x = -2$ и $y = 4$ в уравнение, чтобы найти коэффициент $b$:

$5 \cdot (-2) + b \cdot 4 = 2$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$-10 + 4b = 2$

$4b = 2 + 10$

$4b = 12$

$b = \frac{12}{4}$

$b = 3$

Таким образом, коэффициент $b$ равен 3, и уравнение прямой имеет вид: $5x + 3y = 2$.

Для построения прямой нам нужны две точки. Одна точка известна — это $(-2; 4)$. Найдем вторую точку, например, точку пересечения с осью абсцисс (Ox), положив $y = 0$:

$5x + 3 \cdot 0 = 2$

$5x = 2$

$x = \frac{2}{5} = 0.4$

Получили вторую точку с координатами $(0.4; 0)$.

Теперь, отметив на координатной плоскости точки $(-2; 4)$ и $(0.4; 0)$ и соединив их прямой линией, мы построим график данной прямой.

Ответ: $b = 3$.

603 а) Найдите точки первой координатной четверти с целыми координатами, которые принадлежат прямой $x + 3y = 12$. Дайте ответ, не выполняя построения.

б) Сколько точек второй координатной четверти с целыми координатами принадлежит прямой $3x - 4y + 48 = 0$? Дайте ответ, не выполняя построения.

а)

Нам нужно найти точки с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $x + 3y = 12$ и условиям для первой координатной четверти: $x > 0$ и $y > 0$.

Выразим $x$ через $y$ из уравнения прямой: $x = 12 - 3y$.

Поскольку точка должна находиться в первой четверти, обе ее координаты должны быть положительными. Так как по условию $x$ и $y$ — целые числа, то они должны быть натуральными.

Из условия $x > 0$ следует, что $12 - 3y > 0$. Решим это неравенство относительно $y$:

$12 > 3y$

$4 > y$

Также по условию $y > 0$. Таким образом, $y$ может принимать целые значения $1, 2, 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого возможного значения $y$:

• При $y = 1$: $x = 12 - 3 \cdot 1 = 9$. Получаем точку $(9, 1)$.
• При $y = 2$: $x = 12 - 3 \cdot 2 = 6$. Получаем точку $(6, 2)$.
• При $y = 3$: $x = 12 - 3 \cdot 3 = 3$. Получаем точку $(3, 3)$.

Все три точки имеют целые положительные координаты и, следовательно, лежат в первой координатной четверти. Если $y \ge 4$, то $x \le 0$, что не удовлетворяет условию.

Ответ: $(9, 1)$, $(6, 2)$, $(3, 3)$.

б)

Нам нужно найти количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые принадлежат прямой $3x - 4y + 48 = 0$ и находятся во второй координатной четверти.

Условия для второй координатной четверти: $x < 0$ и $y > 0$.

Преобразуем уравнение прямой, чтобы выразить $y$ через $x$:

$4y = 3x + 48$

$y = \frac{3x + 48}{4} = \frac{3}{4}x + 12$

Поскольку $y$ должен быть целым числом, выражение $3x + 48$ должно делиться на 4. Так как 48 делится на 4, то и $3x$ должно делиться на 4. Учитывая, что числа 3 и 4 взаимно простые, $x$ должен быть кратен 4.

Теперь применим условия для второй четверти:

1. $x < 0$ и $x$ кратно 4. Это означает, что $x$ может принимать значения $-4, -8, -12, \dots$

2. $y > 0$. Подставим выражение для $y$:

$\frac{3x + 48}{4} > 0$

$3x + 48 > 0$

$3x > -48$

$x > -16$

Итак, мы ищем целые значения $x$, которые удовлетворяют трем условиям одновременно: $x < 0$, $x > -16$ и $x$ кратно 4.

Такими значениями $x$ являются: $-12, -8, -4$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого из этих $x$:

• При $x = -4$: $y = \frac{3(-4) + 48}{4} = \frac{-12 + 48}{4} = \frac{36}{4} = 9$. Точка $(-4, 9)$.
• При $x = -8$: $y = \frac{3(-8) + 48}{4} = \frac{-24 + 48}{4} = \frac{24}{4} = 6$. Точка $(-8, 6)$.
• При $x = -12$: $y = \frac{3(-12) + 48}{4} = \frac{-36 + 48}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(-12, 3)$.

Все три найденные точки имеют целые координаты и удовлетворяют условиям второй четверти ($x < 0, y > 0$). Если мы возьмем следующее кратное четырем число, $x = -16$, то получим $y=0$, и точка $(-16, 0)$ окажется на оси Ox, а не во второй четверти. Следовательно, существует ровно 3 такие точки.

Ответ: 3.

604 Линия, изображённая на рисунке 4.12, является эллипсом. Уравнение эллипса можно записать в виде $x^2/a + y^2/b = 1$, где $a$ и $b$ — положительные числа и $a \geq b$.

1) Найдите координаты точек пересечения с осями координат эллипса, заданного уравнением $x^2/25 + y^2/16 = 1$.

Рис. 4.12

2) Определите ординаты точек эллипса $x^2/25 + y^2/16 = 1$, абсциссы которых равны 1.

3) Постройте эллипс, заданный уравнением $x^2/25 + y^2/16 = 1$.

1)

Чтобы найти координаты точек пересечения эллипса с осями координат, нужно поочередно приравнять к нулю координаты $x$ и $y$ в уравнении эллипса $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox). В этом случае координата $y=0$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{x^2}{25} + \frac{0^2}{16} = 1$
$\frac{x^2}{25} = 1$
$x^2 = 25$
$x = \pm 5$
Таким образом, точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.

Пересечение с осью ординат (осью Oy). В этом случае координата $x=0$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{0^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
$\frac{y^2}{16} = 1$
$y^2 = 16$
$y = \pm 4$
Таким образом, точки пересечения с осью Oy имеют координаты $(0, -4)$ и $(0, 4)$.

Ответ: $(-5, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -4)$, $(0, 4)$.

2)

Чтобы определить ординаты (координаты $y$) точек эллипса, у которых абсциссы (координаты $x$) равны 1, подставим значение $x=1$ в уравнение эллипса:
$\frac{1^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
$\frac{1}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
Выразим член с $y^2$:
$\frac{y^2}{16} = 1 - \frac{1}{25}$
$\frac{y^2}{16} = \frac{25}{25} - \frac{1}{25}$
$\frac{y^2}{16} = \frac{24}{25}$
Теперь найдем $y^2$:
$y^2 = 16 \cdot \frac{24}{25} = \frac{384}{25}$
Извлечем квадратный корень, чтобы найти $y$:
$y = \pm \sqrt{\frac{384}{25}} = \pm \frac{\sqrt{384}}{5}$
Упростим корень из 384: $\sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$.
Следовательно, $y = \pm \frac{8\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $y_1 = \frac{8\sqrt{6}}{5}$, $y_2 = -\frac{8\sqrt{6}}{5}$.

3)

Для построения эллипса, заданного уравнением $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить полуоси эллипса. Из уравнения следует, что $a^2 = 25$ и $b^2 = 16$. Значит, большая полуось (вдоль оси Ox) $a = \sqrt{25} = 5$, а малая полуось (вдоль оси Oy) $b = \sqrt{16} = 4$.
2. Центр эллипса находится в начале координат $(0, 0)$.
3. Отметить на координатных осях вершины эллипса. Это точки пересечения, найденные в пункте 1: $(-5, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -4)$ и $(0, 4)$.
4. Соединить эти четыре вершины плавной овальной линией, симметричной относительно обеих осей координат.

График эллипса выглядит следующим образом:

Ответ: Построение выполнено на основе вершин эллипса $(-5, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -4)$, $(0, 4)$ с центром в начале координат. График представлен на изображении выше.