Номер 603, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 603, страница 179.

Условие.

603 а) Найдите точки первой координатной четверти с целыми координатами, которые принадлежат прямой $x + 3y = 12$. Дайте ответ, не выполняя построения.

б) Сколько точек второй координатной четверти с целыми координатами принадлежит прямой $3x - 4y + 48 = 0$? Дайте ответ, не выполняя построения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Нам нужно найти точки с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $x + 3y = 12$ и условиям для первой координатной четверти: $x > 0$ и $y > 0$.

Выразим $x$ через $y$ из уравнения прямой: $x = 12 - 3y$.

Поскольку точка должна находиться в первой четверти, обе ее координаты должны быть положительными. Так как по условию $x$ и $y$ — целые числа, то они должны быть натуральными.

Из условия $x > 0$ следует, что $12 - 3y > 0$. Решим это неравенство относительно $y$:

$12 > 3y$

$4 > y$

Также по условию $y > 0$. Таким образом, $y$ может принимать целые значения $1, 2, 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого возможного значения $y$:

• При $y = 1$: $x = 12 - 3 \cdot 1 = 9$. Получаем точку $(9, 1)$.
• При $y = 2$: $x = 12 - 3 \cdot 2 = 6$. Получаем точку $(6, 2)$.
• При $y = 3$: $x = 12 - 3 \cdot 3 = 3$. Получаем точку $(3, 3)$.

Все три точки имеют целые положительные координаты и, следовательно, лежат в первой координатной четверти. Если $y \ge 4$, то $x \le 0$, что не удовлетворяет условию.

Ответ: $(9, 1)$, $(6, 2)$, $(3, 3)$.

б)

Нам нужно найти количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые принадлежат прямой $3x - 4y + 48 = 0$ и находятся во второй координатной четверти.

Условия для второй координатной четверти: $x < 0$ и $y > 0$.

Преобразуем уравнение прямой, чтобы выразить $y$ через $x$:

$4y = 3x + 48$

$y = \frac{3x + 48}{4} = \frac{3}{4}x + 12$

Поскольку $y$ должен быть целым числом, выражение $3x + 48$ должно делиться на 4. Так как 48 делится на 4, то и $3x$ должно делиться на 4. Учитывая, что числа 3 и 4 взаимно простые, $x$ должен быть кратен 4.

Теперь применим условия для второй четверти:

1. $x < 0$ и $x$ кратно 4. Это означает, что $x$ может принимать значения $-4, -8, -12, \dots$

2. $y > 0$. Подставим выражение для $y$:

$\frac{3x + 48}{4} > 0$

$3x + 48 > 0$

$3x > -48$

$x > -16$

Итак, мы ищем целые значения $x$, которые удовлетворяют трем условиям одновременно: $x < 0$, $x > -16$ и $x$ кратно 4.

Такими значениями $x$ являются: $-12, -8, -4$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого из этих $x$:

• При $x = -4$: $y = \frac{3(-4) + 48}{4} = \frac{-12 + 48}{4} = \frac{36}{4} = 9$. Точка $(-4, 9)$.
• При $x = -8$: $y = \frac{3(-8) + 48}{4} = \frac{-24 + 48}{4} = \frac{24}{4} = 6$. Точка $(-8, 6)$.
• При $x = -12$: $y = \frac{3(-12) + 48}{4} = \frac{-36 + 48}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(-12, 3)$.

Все три найденные точки имеют целые координаты и удовлетворяют условиям второй четверти ($x < 0, y > 0$). Если мы возьмем следующее кратное четырем число, $x = -16$, то получим $y=0$, и точка $(-16, 0)$ окажется на оси Ox, а не во второй четверти. Следовательно, существует ровно 3 такие точки.

Ответ: 3.