Номер 3, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.3. Уравнение прямой вида у = kх + l. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 184.

Условие.

Две прямые заданы уравнениями вида $y = kx + l$. Как узнать, параллельны они или пересекаются (фрагмент 3)? Приведите пример уравнений двух пересекающихся прямых и двух параллельных прямых. Как называется коэффициент $k$ в уравнении $y = kx + l$?

Решение 3.

Решение 4.

Две прямые заданы уравнениями вида $y = kx + l$. Как узнать, параллельны они или пересекаются?

Чтобы определить, являются ли две прямые, заданные уравнениями $y_1 = k_1x + l_1$ и $y_2 = k_2x + l_2$, параллельными или пересекающимися, нужно проанализировать их коэффициенты. Ключевую роль играет угловой коэффициент $k$, который определяет наклон прямой, и свободный член $l$, который показывает точку пересечения прямой с осью ординат.

Прямые пересекаются, если их наклоны различны, то есть их угловые коэффициенты не равны: $k_1 \neq k_2$. В этом случае у прямых есть ровно одна общая точка.

Прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон, но проходят через разные точки на оси $y$. Это означает, что их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны: $k_1 = k_2$ и $l_1 \neq l_2$. Параллельные прямые никогда не пересекаются.

Также возможен случай, когда и угловые коэффициенты, и свободные члены совпадают ($k_1 = k_2$ и $l_1 = l_2$). В этом случае уравнения описывают одну и ту же прямую, и говорят, что прямые совпадают.

Ответ: Прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты $k$ различны. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты $k$ равны, а коэффициенты $l$ различны.

Приведите пример уравнений двух пересекающихся прямых и двух параллельных прямых.

Пример уравнений двух пересекающихся прямых:
Для того чтобы прямые пересекались, их угловые коэффициенты должны быть разными. Выберем, к примеру, $k_1 = 5$ и $k_2 = -2$.
Первая прямая: $y = 5x - 3$
Вторая прямая: $y = -2x + 1$
Поскольку $k_1 \neq k_2$ ($5 \neq -2$), данные прямые пересекаются.

Пример уравнений двух параллельных прямых:
Для того чтобы прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть одинаковыми, а свободные члены — разными. Выберем, к примеру, $k_1 = k_2 = 3$, а $l_1 = 1$ и $l_2 = -4$.
Первая прямая: $y = 3x + 1$
Вторая прямая: $y = 3x - 4$
Поскольку $k_1 = k_2$ ($3 = 3$) и $l_1 \neq l_2$ ($1 \neq -4$), данные прямые параллельны.

Ответ: Пример пересекающихся прямых: $y = 5x - 3$ и $y = -2x + 1$. Пример параллельных прямых: $y = 3x + 1$ и $y = 3x - 4$.

Как называется коэффициент k в уравнении $y = kx + l$?

В уравнении прямой вида $y = kx + l$ коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Такое название он получил потому, что его значение определяет угол, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (осью $Ox$). Численно угловой коэффициент равен тангенсу этого угла: $k = \tan(\alpha)$, где $\alpha$ — угол наклона прямой. Таким образом, коэффициент $k$ характеризует "крутизну" наклона графика функции.

Ответ: Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом.