Страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1) Уравнение какой прямой нельзя записать в виде $y = kx + l$: горизонтальной, вертикальной или наклонной (фрагмент 1)?

2) Прямая задана уравнением вида $y = kx + l$. Назовите коэффициенты $k$ и $l$:

а) $y = 7x - 4$;

б) $y = 6 - \frac{x}{2}$;

В) $y = -x - 1$;

Г) $y = -5 + x$;

Д) $y = -0,1x$;

е) $y = \frac{2x}{3}$.

1) Уравнение прямой вида $y = kx + l$ называется уравнением с угловым коэффициентом. В этом уравнении $k$ – это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox), а $l$ – это ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

Рассмотрим разные типы прямых:

Горизонтальная прямая: Эта прямая параллельна оси Ox. Угол ее наклона равен 0, следовательно, ее угловой коэффициент $k = \tan(0) = 0$. Уравнение принимает вид $y = 0 \cdot x + l$, то есть $y = l$. Такое уравнение можно записать в виде $y = kx + l$, где $k=0$.

Наклонная прямая: Эта прямая пересекает ось Ox под углом, не равным 0° или 90°. Ее угловой коэффициент $k$ является конечным числом, не равным нулю. Это общий случай уравнения $y = kx + l$.

Вертикальная прямая: Эта прямая параллельна оси Oy и перпендикулярна оси Ox. Угол ее наклона к оси Ox составляет 90°. Тангенс этого угла, $k = \tan(90°)$, не определен. Уравнение вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ – это постоянная (абсцисса любой точки на прямой). В этом уравнении для одного значения $x$ существует бесконечное множество значений $y$. Уравнение $y = kx + l$ задает функцию, где каждому значению $x$ соответствует одно-единственное значение $y$. Следовательно, уравнение вертикальной прямой нельзя представить в виде $y = kx + l$.

Ответ: Уравнение вертикальной прямой нельзя записать в виде $y = kx + l$.

2) Для каждого уравнения прямой необходимо определить коэффициенты $k$ (угловой коэффициент) и $l$ (свободный член), приведя уравнение к стандартному виду $y = kx + l$.

а) $y = 7x - 4$

Уравнение уже представлено в стандартном виде. Сравнивая его с $y = kx + l$, находим, что коэффициент при $x$ равен 7, а свободный член равен -4.

Ответ: $k = 7$, $l = -4$.

б) $y = 6 - \frac{x}{2}$

Перепишем уравнение, поменяв местами слагаемые, чтобы привести его к стандартному виду: $y = -\frac{x}{2} + 6$. Это то же самое, что и $y = (-\frac{1}{2})x + 6$.

Ответ: $k = -\frac{1}{2}$, $l = 6$.

в) $y = -x - 1$

Это уравнение можно записать как $y = (-1)x - 1$. Оно уже в стандартном виде.

Ответ: $k = -1$, $l = -1$.

г) $y = -5 + x$

Переставим слагаемые: $y = x - 5$. Это можно записать как $y = (1)x - 5$.

Ответ: $k = 1$, $l = -5$.

д) $y = -0,1x$

В этом уравнении отсутствует свободный член, что эквивалентно тому, что он равен нулю. Уравнение можно записать как $y = -0,1x + 0$.

Ответ: $k = -0,1$, $l = 0$.

е) $y = \frac{2x}{3}$

Перепишем уравнение, выделив коэффициент при $x$: $y = \frac{2}{3}x$. Свободный член здесь также равен нулю: $y = \frac{2}{3}x + 0$.

Ответ: $k = \frac{2}{3}$, $l = 0$.

Разберите фрагмент 2 и выполните задания:

1) Объясните, почему прямая, которая задаётся уравнением вида $y = kx$, проходит через начало координат. Приведите пример уравнений двух прямых, одна из которых проходит через начало координат, а другая нет.

2) Покажите на рисунке, как расположена в координатной плоскости прямая $y = kx$ при $k > 0$ и при $k < 0$.

3) Покажите схематически, как в координатной плоскости располагаются по отношению друг к другу прямые $y = 1,3x$ и $y = 5,7x$.

1) Прямая, заданная уравнением вида $y = kx$, называется прямой пропорциональностью. Чтобы проверить, проходит ли график функции через определённую точку, нужно подставить координаты этой точки в уравнение. Начало координат — это точка с координатами $(0; 0)$.

Подставим значения $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение $y = kx$:

$0 = k \cdot 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения коэффициента $k$. Это означает, что точка $(0; 0)$ всегда принадлежит прямой $y = kx$, то есть прямая всегда проходит через начало координат.

Пример прямой, проходящей через начало координат: $y = 5x$. (Уравнение вида $y=kx$, где свободный член равен нулю).
Пример прямой, не проходящей через начало координат: $y = 2x + 3$. (Общее уравнение прямой $y=kx+b$, где $b \ne 0$. При $x=0$, $y=3$, поэтому эта прямая проходит через точку $(0; 3)$, а не через начало координат).

Ответ: Прямая $y=kx$ проходит через начало координат, так как при подстановке координат точки $(0;0)$ в уравнение получается верное равенство $0=0$. Пример прямой, проходящей через начало координат: $y=5x$. Пример прямой, не проходящей через начало координат: $y=2x+3$.

2) Коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx$ называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой.

При $k > 0$ (положительный угловой коэффициент), прямая возрастает (идёт "вверх" слева направо) и располагается в I и III координатных четвертях.

При $k < 0$ (отрицательный угловой коэффициент), прямая убывает (идёт "вниз" слева направо) и располагается во II и IV координатных четвертях.

Ответ: На схеме показано, что при $k>0$ прямая проходит через I и III четверти, а при $k<0$ — через II и IV четверти.

3) Обе прямые, $y = 1,3x$ и $y = 5,7x$, являются прямыми пропорциональностями, поэтому обе проходят через начало координат $(0;0)$.

Угловые коэффициенты обеих прямых положительны ($k_1 = 1,3 > 0$ и $k_2 = 5,7 > 0$), значит, обе прямые располагаются в I и III координатных четвертях.

Угловой коэффициент определяет "крутизну" наклона прямой по отношению к оси Ox. Чем больше значение коэффициента $k$, тем круче идет прямая, то есть тем больший угол она образует с положительным направлением оси Ox.

Поскольку $5,7 > 1,3$, прямая $y = 5,7x$ будет расположена "круче" (ближе к оси Oy), чем прямая $y = 1,3x$.

Ответ: Обе прямые проходят через начало координат. Прямая $y=5,7x$ расположена круче (ближе к оси Oy), чем прямая $y=1,3x$, так как её угловой коэффициент больше.

Две прямые заданы уравнениями вида $y = kx + l$. Как узнать, параллельны они или пересекаются (фрагмент 3)? Приведите пример уравнений двух пересекающихся прямых и двух параллельных прямых. Как называется коэффициент $k$ в уравнении $y = kx + l$?

Две прямые заданы уравнениями вида $y = kx + l$. Как узнать, параллельны они или пересекаются?

Чтобы определить, являются ли две прямые, заданные уравнениями $y_1 = k_1x + l_1$ и $y_2 = k_2x + l_2$, параллельными или пересекающимися, нужно проанализировать их коэффициенты. Ключевую роль играет угловой коэффициент $k$, который определяет наклон прямой, и свободный член $l$, который показывает точку пересечения прямой с осью ординат.

Прямые пересекаются, если их наклоны различны, то есть их угловые коэффициенты не равны: $k_1 \neq k_2$. В этом случае у прямых есть ровно одна общая точка.

Прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон, но проходят через разные точки на оси $y$. Это означает, что их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны: $k_1 = k_2$ и $l_1 \neq l_2$. Параллельные прямые никогда не пересекаются.

Также возможен случай, когда и угловые коэффициенты, и свободные члены совпадают ($k_1 = k_2$ и $l_1 = l_2$). В этом случае уравнения описывают одну и ту же прямую, и говорят, что прямые совпадают.

Ответ: Прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты $k$ различны. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты $k$ равны, а коэффициенты $l$ различны.

Приведите пример уравнений двух пересекающихся прямых и двух параллельных прямых.

Пример уравнений двух пересекающихся прямых:
Для того чтобы прямые пересекались, их угловые коэффициенты должны быть разными. Выберем, к примеру, $k_1 = 5$ и $k_2 = -2$.
Первая прямая: $y = 5x - 3$
Вторая прямая: $y = -2x + 1$
Поскольку $k_1 \neq k_2$ ($5 \neq -2$), данные прямые пересекаются.

Пример уравнений двух параллельных прямых:
Для того чтобы прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть одинаковыми, а свободные члены — разными. Выберем, к примеру, $k_1 = k_2 = 3$, а $l_1 = 1$ и $l_2 = -4$.
Первая прямая: $y = 3x + 1$
Вторая прямая: $y = 3x - 4$
Поскольку $k_1 = k_2$ ($3 = 3$) и $l_1 \neq l_2$ ($1 \neq -4$), данные прямые параллельны.

Ответ: Пример пересекающихся прямых: $y = 5x - 3$ и $y = -2x + 1$. Пример параллельных прямых: $y = 3x + 1$ и $y = 3x - 4$.

Как называется коэффициент k в уравнении $y = kx + l$?

В уравнении прямой вида $y = kx + l$ коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Такое название он получил потому, что его значение определяет угол, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (осью $Ox$). Численно угловой коэффициент равен тангенсу этого угла: $k = \tan(\alpha)$, где $\alpha$ — угол наклона прямой. Таким образом, коэффициент $k$ характеризует "крутизну" наклона графика функции.

Ответ: Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом.

Каков геометрический смысл коэффициента $l$ в уравнении $y=kx+l$ (фрагмент 4)? Проиллюстрируйте свой ответ на примере прямой $y=x+3$.

В уравнении прямой вида $y = kx + l$, которое является уравнением прямой с угловым коэффициентом, коэффициент $l$ (свободный член) имеет чёткий геометрический смысл. Он определяет, в какой точке прямая пересекает ось ординат (ось $OY$).

Геометрический смысл коэффициента $l$ заключается в том, что его значение равно ординате точки пересечения графика функции с осью $OY$. Чтобы найти эту точку, достаточно в уравнение прямой подставить значение абсциссы $x=0$, так как все точки на оси $OY$ имеют абсциссу, равную нулю.Подставим $x=0$ в уравнение $y = kx + l$:$y = k \cdot 0 + l$$y = l$Таким образом, прямая пересекает ось ординат в точке с координатами $(0, l)$. Фактически, коэффициент $l$ показывает величину сдвига графика прямой $y=kx$ вдоль оси $OY$. Если $l > 0$, то прямая смещена вверх на $l$ единиц, а если $l < 0$, то вниз на $|l|$ единиц, по сравнению с прямой $y=kx$, которая проходит через начало координат.

Иллюстрация на примере прямой $y = x + 3$

Рассмотрим конкретное уравнение прямой $y = x + 3$. Сравнивая его с общей формой $y = kx + l$, мы можем определить, что угловой коэффициент $k=1$, а свободный член $l=3$.Согласно геометрическому смыслу, значение $l=3$ означает, что данная прямая пересекает ось ординат ($OY$) в точке, ордината которой равна 3.Найдем точку пересечения, подставив $x=0$ в уравнение:$y = 0 + 3 = 3$Следовательно, точка пересечения прямой $y = x + 3$ с осью $OY$ имеет координаты $(0, 3)$. Это означает, что график этой функции является прямой $y=x$, смещенной на 3 единицы вверх по оси ординат.

Ответ: Коэффициент $l$ в уравнении прямой $y = kx + l$ показывает ординату точки, в которой прямая пересекает ось $OY$. То есть, прямая пересекает ось ординат в точке с координатами $(0, l)$. В примере с прямой $y = x + 3$ коэффициент $l=3$ означает, что прямая пересекает ось $OY$ в точке $(0, 3)$.

Покажите на рисунке, как располагается в координатной плоскости прямая, заданная уравнением $y = kx + l$, где $k > 0$ и $l > 0$.

Рассмотрим уравнение прямой $y = kx + l$ с заданными условиями $k > 0$ и $l > 0$. Расположение прямой в координатной плоскости определяется значениями этих двух коэффициентов.

Анализ коэффициента k (углового коэффициента)
Коэффициент $k$ в уравнении прямой определяет её наклон. Условие $k > 0$ означает, что угловой коэффициент положителен. Это говорит о том, что функция является возрастающей: с увеличением аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается. Геометрически это означает, что прямая образует острый угол (меньше 90°) с положительным направлением оси абсцисс ($Ox$).

Анализ коэффициента l (свободного члена)
Коэффициент $l$ определяет точку пересечения прямой с осью ординат ($Oy$). Это значение функции $y$ при $x=0$. Если подставить $x=0$ в уравнение, мы получим $y = k \cdot 0 + l = l$. Таким образом, прямая пересекает ось $Oy$ в точке с координатами $(0, l)$. Условие $l > 0$ означает, что эта точка находится на положительной полуоси $Oy$, то есть выше начала координат.

Определение точек пересечения с осями
Для того чтобы точно изобразить прямую, найдем точки ее пересечения с обеими осями координат:

• Пересечение с осью Oy (осью ординат): Происходит при $x = 0$. Как мы уже выяснили, $y = l$. Точка пересечения — $(0, l)$. Так как $l > 0$, эта точка лежит выше оси $Ox$.
• Пересечение с осью Ox (осью абсцисс): Происходит при $y = 0$. Подставим в уравнение: $0 = kx + l$. Решим уравнение относительно $x$: $kx = -l$, что дает $x = -l/k$. Поскольку по условию $k > 0$ и $l > 0$, их отношение $l/k$ также будет положительным. Следовательно, значение $x = -l/k$ будет отрицательным. Точка пересечения — $(-l/k, 0)$. Эта точка лежит левее оси $Oy$.

Собрав все воедино, мы можем заключить, что прямая $y = kx + l$ при $k > 0$ и $l > 0$:

• Является возрастающей (наклонена "вправо-вверх").
• Пересекает ось $y$ в положительной точке.
• Пересекает ось $x$ в отрицательной точке.

Такая прямая будет проходить через I, II и III координатные четверти.

Ответ:

На рисунке показана прямая, заданная уравнением $y=kx+l$, где $k>0$ и $l>0$. Она является возрастающей и пересекает ось $Oy$ в точке $(0, l)$ выше начала координат, а ось $Ox$ — в точке $(-l/k, 0)$ левее начала координат, проходя через I, II и III квадранты.

Запишите уравнение прямой в виде $y = kx + l$ и назовите ко-эффициенты $k$ и $l$ (607–608).

607 а) $x + y = 5;$

б) $2x + y = -3;$

в) $3x - 2y = 6;$

г) $10x + 100y = 200.$

Чтобы записать уравнение прямой в виде $y = kx + l$, необходимо в каждом уравнении выразить переменную $y$ через $x$.

Дано уравнение $x + y = 5$.

Чтобы выразить $y$, перенесем $x$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$y = 5 - x$

Для соответствия формату $y = kx + l$, поменяем слагаемые в правой части местами:

$y = -x + 5$

Теперь сравним полученное уравнение с общим видом $y = kx + l$. Коэффициент при $x$ (угловой коэффициент) – это $k$, а свободный член – это $l$.

В нашем случае $k = -1$ и $l = 5$.

Ответ: $y = -x + 5$; $k = -1$, $l = 5$.

Дано уравнение $2x + y = -3$.

Аналогично предыдущему пункту, выразим $y$, перенеся $2x$ в правую часть уравнения:

$y = -3 - 2x$

Запишем уравнение в стандартном виде $y = kx + l$:

$y = -2x - 3$

Сравнивая с общей формой, находим коэффициенты:

$k = -2$ и $l = -3$.

Ответ: $y = -2x - 3$; $k = -2$, $l = -3$.

Дано уравнение $3x - 2y = 6$.

Сначала оставим слагаемое с $y$ в левой части, а $3x$ перенесем в правую часть с противоположным знаком:

$-2y = 6 - 3x$

Переставим слагаемые в правой части для удобства:

$-2y = -3x + 6$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на $-2$:

$y = \frac{-3x + 6}{-2}$

Разделим каждый член в числителе на знаменатель:

$y = \frac{-3x}{-2} + \frac{6}{-2}$

$y = \frac{3}{2}x - 3$

Можно представить коэффициент $k$ в виде десятичной дроби: $y = 1.5x - 3$.

Отсюда находим коэффициенты:

$k = 1.5$ и $l = -3$.

Ответ: $y = 1.5x - 3$; $k = 1.5$, $l = -3$.

Дано уравнение $10x + 100y = 200$.

Заметим, что все коэффициенты в уравнении делятся на 10. Для упрощения разделим все члены уравнения на 10:

$\frac{10x}{10} + \frac{100y}{10} = \frac{200}{10}$

$x + 10y = 20$

Теперь выразим $y$. Перенесем $x$ в правую часть:

$10y = 20 - x$

Запишем в стандартном виде:

$10y = -x + 20$

Разделим обе части уравнения на 10:

$y = \frac{-x + 20}{10}$

Разделим почленно:

$y = \frac{-x}{10} + \frac{20}{10}$

$y = -\frac{1}{10}x + 2$ или $y = -0.1x + 2$

Находим коэффициенты:

$k = -0.1$ и $l = 2$.

Ответ: $y = -0.1x + 2$; $k = -0.1$, $l = 2$.

608 a) $3y - 2x = 0;$

б) $2y + 4 = 0;$

в) $3y - 9 = 0;$

г) $2x = 3y.$

а) $3y - 2x = 0$

Для решения данного уравнения выразим переменную y через x. Сначала перенесем слагаемое, содержащее x, в правую часть уравнения, изменив его знак:

$3y = 2x$

Теперь, чтобы найти y, разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на 3:

$\frac{3y}{3} = \frac{2x}{3}$

$y = \frac{2}{3}x$

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$

б) $2y + 4 = 0$

В этом уравнении есть только одна переменная y. Чтобы найти ее значение, сначала перенесем свободный член (число 4) в правую часть уравнения:

$2y = -4$

Далее разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{2y}{2} = \frac{-4}{2}$

$y = -2$

Ответ: $y = -2$

в) $3y - 9 = 0$

Это уравнение также содержит только одну переменную y. Решим его, изолировав y. Перенесем -9 в правую часть с противоположным знаком:

$3y = 9$

Теперь разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{3y}{3} = \frac{9}{3}$

$y = 3$

Ответ: $y = 3$

г) $2x = 3y$

Это уравнение, как и в пункте а), связывает переменные x и y. Выразим y через x. Для удобства можно сначала поменять местами левую и правую части уравнения:

$3y = 2x$

Теперь разделим обе части на 3:

$\frac{3y}{3} = \frac{2x}{3}$

$y = \frac{2}{3}x$

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$

609 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Постройте прямую, заданную уравнением:

а) $y = \frac{1}{2}x$;

б) $y = 3x$;

в) $y = -2x$;

г) $y = -0,5x$;

д) $y = \frac{x}{3}$;

е) $y = -\frac{x}{4}$.

Все представленные уравнения имеют вид $y = kx$. Это уравнения прямой пропорциональности, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат — точку (0; 0). Для построения прямой достаточно найти еще одну точку, принадлежащую этой прямой, и провести через эти две точки прямую линию.

а) $y=\frac{1}{2}x$

Это линейная функция, график которой — прямая.
1. Одна точка нам уже известна, так как это прямая пропорциональность — это начало координат, точка O(0; 0).
2. Найдем вторую точку. Для этого выберем удобное значение для $x$, например, $x=2$.
Подставим это значение в уравнение: $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты A(2; 1).
3. Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки O(0; 0) и A(2; 1) и провести через них прямую.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0; 0) и (2; 1) и провести через них прямую.

б) $y=3x$

Это линейная функция, график которой — прямая.
1. Первая точка — начало координат O(0; 0).
2. Найдем вторую точку. Возьмем $x=1$.
Подставим в уравнение: $y = 3 \cdot 1 = 3$.
Вторая точка — B(1; 3).
3. Построим на координатной плоскости точки O(0; 0) и B(1; 3) и проведем через них прямую.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0; 0) и (1; 3) и провести через них прямую.

в) $y=-2x$

Это линейная функция, график которой — прямая.
1. Первая точка — начало координат O(0; 0).
2. Найдем вторую точку. Возьмем $x=1$.
Подставим в уравнение: $y = -2 \cdot 1 = -2$.
Вторая точка — C(1; -2).
3. Построим на координатной плоскости точки O(0; 0) и C(1; -2) и проведем через них прямую.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0; 0) и (1; -2) и провести через них прямую.

г) $y=-0,5x$

Это линейная функция, график которой — прямая.
1. Первая точка — начало координат O(0; 0).
2. Найдем вторую точку. Возьмем $x=2$, чтобы получить целое значение $y$.
Подставим в уравнение: $y = -0,5 \cdot 2 = -1$.
Вторая точка — D(2; -1).
3. Построим на координатной плоскости точки O(0; 0) и D(2; -1) и проведем через них прямую.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0; 0) и (2; -1) и провести через них прямую.

д) $y=\frac{x}{3}$

Это линейная функция, которую можно записать как $y=\frac{1}{3}x$. График — прямая.
1. Первая точка — начало координат O(0; 0).
2. Найдем вторую точку. Для удобства вычислений возьмем $x=3$.
Подставим в уравнение: $y = \frac{3}{3} = 1$.
Вторая точка — E(3; 1).
3. Построим на координатной плоскости точки O(0; 0) и E(3; 1) и проведем через них прямую.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0; 0) и (3; 1) и провести через них прямую.

е) $y=-\frac{x}{4}$

Это линейная функция, которую можно записать как $y=-\frac{1}{4}x$. График — прямая.
1. Первая точка — начало координат O(0; 0).
2. Найдем вторую точку. Для удобства вычислений возьмем $x=4$.
Подставим в уравнение: $y = -\frac{4}{4} = -1$.
Вторая точка — F(4; -1).
3. Построим на координатной плоскости точки O(0; 0) и F(4; -1) и проведем через них прямую.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0; 0) и (4; -1) и провести через них прямую.

610 Запишите уравнение прямой $y = kx + l$ при указанных $k$ и $l$ и постройте эту прямую, если:

а) $k = 1, l = 0;$

б) $k = -1, l = 0;$

в) $k = 0, l = 1;$

г) $k = 0, l = -1.$

а) $k = 1, l = 0$

Подставим заданные значения коэффициентов $k$ и $l$ в общее уравнение прямой $y = kx + l$.

Получаем уравнение: $y = 1 \cdot x + 0$, что упрощается до $y = x$.

Для построения прямой на координатной плоскости достаточно найти две точки, принадлежащие этой прямой. Составим таблицу значений:

• При $x = 0$, $y = 0$. Получаем точку $(0, 0)$ — начало координат.
• При $x = 2$, $y = 2$. Получаем точку $(2, 2)$.

Отметим на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$ и проведем через них прямую. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Уравнение прямой: $y = x$. Прямая проходит через начало координат и точку $(2, 2)$.

б) $k = -1, l = 0$

Подставим заданные значения $k = -1$ и $l = 0$ в уравнение $y = kx + l$.

Получаем уравнение: $y = -1 \cdot x + 0$, что упрощается до $y = -x$.

Найдем две точки для построения графика:

• При $x = 0$, $y = -0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$ — начало координат.
• При $x = 2$, $y = -2$. Получаем точку $(2, -2)$.

Отметим на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(2, -2)$ и проведем через них прямую. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Ответ: Уравнение прямой: $y = -x$. Прямая проходит через начало координат и точку $(2, -2)$.

в) $k = 0, l = 1$

Подставим $k = 0$ и $l = 1$ в уравнение $y = kx + l$.

Получаем уравнение: $y = 0 \cdot x + 1$, что упрощается до $y = 1$.

Это уравнение означает, что для любого значения $x$ значение $y$ всегда равно 1. Графиком является прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси ординат (оси Oy).

Для построения можно взять любые две точки, например:

• При $x = 0$, $y = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 3$, $y = 1$. Точка $(3, 1)$.

Соединив эти точки, получим горизонтальную прямую.

Ответ: Уравнение прямой: $y = 1$. Прямая параллельна оси Ox и проходит через точку $(0, 1)$.

г) $k = 0, l = -1$

Подставим $k = 0$ и $l = -1$ в уравнение $y = kx + l$.

Получаем уравнение: $y = 0 \cdot x + (-1)$, что упрощается до $y = -1$.

Это уравнение означает, что для любого значения $x$ значение $y$ всегда равно -1. Графиком является прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, -1)$ на оси ординат (оси Oy).

Найдем две точки для построения:

• При $x = 0$, $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
• При $x = 2$, $y = -1$. Точка $(2, -1)$.

Соединив эти точки, получим горизонтальную прямую.

Ответ: Уравнение прямой: $y = -1$. Прямая параллельна оси Ox и проходит через точку $(0, -1)$.

611 Выпишите уравнения, графиками которых являются прямые, проходящие через начало координат, и постройте эти прямые:
$y = 3x^2$, $y = \frac{x}{4}$, $y = 4x - 1$, $y = \frac{2}{x}$, $y = -3x$, $y = -5$.

Выпишите уравнения, графиками которых являются прямые, проходящие через начало координат

Проанализируем каждое из предложенных уравнений. График функции является прямой, проходящей через начало координат, если уравнение функции можно представить в виде $y = kx$, где $k$ — некоторое число (угловой коэффициент). Это означает, что при подстановке $x=0$ в уравнение мы должны получить $y=0$.

• $y = 3x^2$: Графиком является парабола. Это не прямая.
• $y = \frac{x}{4}$: Это уравнение можно записать как $y = \frac{1}{4}x$. Оно имеет вид $y=kx$ при $k=\frac{1}{4}$. График — прямая, проходящая через начало координат (при $x=0$, $y=0$).
• $y = 4x - 1$: Это уравнение прямой вида $y=kx+b$, где $b=-1$. Так как $b \neq 0$, прямая не проходит через начало координат (при $x=0$, $y=-1$).
• $y = \frac{2}{x}$: Графиком является гипербола (обратная пропорциональность). Это не прямая.
• $y = -3x$: Это уравнение имеет вид $y=kx$ при $k=-3$. График — прямая, проходящая через начало координат (при $x=0$, $y=0$).
• $y = -5$: Это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. Она не проходит через начало координат, так как $y$ всегда равно -5.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два уравнения.

Ответ: $y=\frac{x}{4}$ и $y=-3x$.

Постройте эти прямые

Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек, через которые она проходит. Поскольку обе прямые проходят через начало координат, одна точка для обеих прямых уже известна — это (0, 0).

1. Построение графика $y = \frac{x}{4}$
Первая точка: (0, 0).
Для нахождения второй точки выберем удобное значение $x$, например, $x=4$.
Подставим его в уравнение: $y = \frac{4}{4} = 1$.
Вторая точка: (4, 1).
Проводим прямую через точки (0, 0) и (4, 1).

2. Построение графика $y = -3x$
Первая точка: (0, 0).
Для нахождения второй точки выберем $x=1$.
Подставим его в уравнение: $y = -3 \cdot 1 = -3$.
Вторая точка: (1, -3).
Проводим прямую через точки (0, 0) и (1, -3).

Нанесём обе прямые на одну координатную плоскость:

Ответ: Графики прямых $y=\frac{x}{4}$ и $y=-3x$ построены на координатной плоскости выше.