Страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рис. 4.13

Рис. 4.14

605 Графиком уравнения $ (x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2 $ является кривая, изображённая на рисунке 4.13. Она называется кардиоидой (так как имеет форму сердца). Найдите координаты точек пересечения кардиоиды с осями координат.

605

Уравнение кардиоиды: $(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$.
Чтобы найти координаты точек пересечения кривой с осями координат, необходимо рассмотреть два случая: пересечение с осью абсцисс (Ox) и с осью ординат (Oy).

1. Пересечение с осью Ox (осью абсцисс).
Для любой точки на оси Ox координата $y = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$(x^2 + 0^2 + 0)^2 = x^2 + 0^2$
$(x^2)^2 = x^2$
$x^4 - x^2 = 0$
$x^2(x^2 - 1) = 0$
$x^2(x - 1)(x + 1) = 0$
Отсюда получаем три возможных значения для $x$: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.
Соответствующие точки пересечения: $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

2. Пересечение с осью Oy (осью ординат).
Для любой точки на оси Oy координата $x = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$(0^2 + y^2 + y)^2 = 0^2 + y^2$
$(y^2 + y)^2 = y^2$
$(y^2 + y)^2 - y^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов:
$(y^2 + y - y)(y^2 + y + y) = 0$
$y^2(y^2 + 2y) = 0$
$y^3(y + 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$, $y_2 = -2$.
Соответствующие точки пересечения: $(0, 0)$ и $(0, -2)$.

Объединяя все найденные точки, получаем полный список точек пересечения кардиоиды с осями координат.
Ответ: $(1, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, -2)$ и $(0, 0)$.

2)

Дано уравнение эллипса $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$. Необходимо определить ординаты (значения $y$) точек, абсциссы (значения $x$) которых равны 1.

Подставляем $x = 1$ в уравнение эллипса:
$\frac{1^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
$\frac{1}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
Выразим член с $y^2$:
$\frac{y^2}{16} = 1 - \frac{1}{25} = \frac{25 - 1}{25} = \frac{24}{25}$
Теперь найдем $y^2$:
$y^2 = 16 \cdot \frac{24}{25} = \frac{384}{25}$
Чтобы найти ординаты, извлечем квадратный корень:
$y = \pm\sqrt{\frac{384}{25}} = \pm\frac{\sqrt{384}}{5}$
Упростим корень из 384: $\sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$.
Таким образом, получаем два значения для ординаты.
Ответ: $\frac{8\sqrt{6}}{5}$ и $-\frac{8\sqrt{6}}{5}$.

3)

Чтобы построить эллипс, заданный уравнением $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$, нужно определить его основные характеристики.

1. Центр и полуоси. Уравнение является каноническим, поэтому центр эллипса находится в начале координат $(0, 0)$. Знаменатели в уравнении определяют квадраты полуосей:
$a^2 = 25 \implies a = 5$ — большая (горизонтальная) полуось.
$b^2 = 16 \implies b = 4$ — малая (вертикальная) полуось.

2. Вершины эллипса. Это точки пересечения эллипса с осями координат.
- Пересечение с осью Ox: $(\pm a, 0)$, то есть в точках $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.
- Пересечение с осью Oy: $(0, \pm b)$, то есть в точках $(0, -4)$ и $(0, 4)$.

3. Построение графика. На координатной плоскости отмечаются центр $(0, 0)$ и четыре вершины: $(-5, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -4)$, $(0, 4)$. Через эти четыре точки проводится плавная замкнутая кривая (овал). Так как $a > b$, эллипс вытянут вдоль оси Ox.
Ответ: Эллипс с центром в точке $(0,0)$, большой полуосью $a=5$ (вдоль оси Ox) и малой полуосью $b=4$ (вдоль оси Oy). Вершины эллипса расположены в точках $(-5, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -4)$ и $(0, 4)$.

Рис. 4.13

606 Графиком уравнения $ x^2 + 2x + y^2 = 3 $ является окружность (рис. 4.14). Вычислите координаты точек пересечения этой окружности с осями координат.

2)

Чтобы определить ординаты (координаты $y$) точек эллипса, абсциссы (координаты $x$) которых равны 1, необходимо подставить значение $x=1$ в уравнение эллипса $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Подставляем $x=1$ в уравнение:

$\frac{1^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

$\frac{1}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

Выразим член, содержащий $y$:

$\frac{y^2}{16} = 1 - \frac{1}{25} = \frac{25-1}{25} = \frac{24}{25}$

Теперь найдем $y^2$:

$y^2 = 16 \cdot \frac{24}{25} = \frac{384}{25}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим $y$:

$y = \pm\sqrt{\frac{384}{25}} = \pm\frac{\sqrt{384}}{5}$

Упростим корень $\sqrt{384}$, разложив подкоренное выражение на множители: $384 = 64 \cdot 6$.

$y = \pm\frac{\sqrt{64 \cdot 6}}{5} = \pm\frac{8\sqrt{6}}{5}$

Следовательно, существуют две точки на эллипсе с абсциссой 1, их ординаты: $\frac{8\sqrt{6}}{5}$ и $-\frac{8\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: ординаты точек равны $\frac{8\sqrt{6}}{5}$ и $-\frac{8\sqrt{6}}{5}$.

3)

Для построения эллипса, заданного каноническим уравнением $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$, необходимо определить его основные параметры: центр и полуоси.

Уравнение имеет вид $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, где центр эллипса находится в начале координат $(0, 0)$.

Из уравнения находим значения полуосей:

Большая полуось $a$ определяется из $a^2 = 25$, следовательно $a=5$. Эта полуось лежит на оси Ox.

Малая полуось $b$ определяется из $b^2 = 16$, следовательно $b=4$. Эта полуось лежит на оси Oy.

Алгоритм построения:

1. На координатной плоскости отметить центр эллипса в точке $(0, 0)$.
2. От центра вдоль оси Ox отложить влево и вправо по 5 единиц и отметить вершины $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.
3. От центра вдоль оси Oy отложить вверх и вниз по 4 единицы и отметить вершины $(0, 4)$ и $(0, -4)$.
4. Соединить четыре полученные вершины плавной овальной кривой.

Ответ: для построения эллипса нужно отметить на координатной плоскости его вершины $(-5, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -4)$, $(0, 4)$ и соединить их плавной замкнутой кривой.

605

Дано уравнение кардиоиды $(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$. Для нахождения точек пересечения с осями координат, необходимо поочередно подставить $y=0$ (для пересечения с осью Ox) и $x=0$ (для пересечения с осью Oy).

Пересечение с осью абсцисс (Ox):

Положим $y=0$ в уравнении:

$(x^2 + 0^2 + 0)^2 = x^2 + 0^2$

$(x^2)^2 = x^2$

$x^4 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$:

$x^2(x^2 - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два: $x^2=0$ и $x^2-1=0$.

Из $x^2=0$ получаем $x=0$.

Из $x^2-1=0$ получаем $x=1$ и $x=-1$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 0)$.

Пересечение с осью ординат (Oy):

Положим $x=0$ в уравнении:

$(0^2 + y^2 + y)^2 = 0^2 + y^2$

$(y^2 + y)^2 = y^2$

$(y^2 + y)^2 - y^2 = 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((y^2 + y) - y)((y^2 + y) + y) = 0$

$(y^2)(y^2 + 2y) = 0$

$y^2 \cdot y(y+2) = 0$

$y^3(y+2) = 0$

Отсюда $y=0$ или $y=-2$.

Точки пересечения с осью Oy: $(0, 0)$ и $(0, -2)$.

Объединяя все найденные точки, получаем полный список точек пересечения с осями.

Ответ: координаты точек пересечения кардиоиды с осями координат: $(1, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, 0)$ и $(0, -2)$.

606

Дано уравнение окружности $x^2 + 2x + y^2 = 3$. Для нахождения точек пересечения с осями координат, необходимо поочередно подставить $y=0$ и $x=0$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):

Положим $y=0$ в уравнении:

$x^2 + 2x + 0^2 = 3$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-3$. Корнями являются $x_1=1$ и $x_2=-3$.

Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

Пересечение с осью ординат (Oy):

Положим $x=0$ в уравнении:

$0^2 + 2(0) + y^2 = 3$

$y^2 = 3$

Отсюда $y = \pm\sqrt{3}$.

Точки пересечения с осью Oy: $(0, \sqrt{3})$ и $(0, -\sqrt{3})$.

Ответ: координаты точек пересечения окружности с осями координат: $(1, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, \sqrt{3})$ и $(0, -\sqrt{3})$.