Страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

584 Андрей работает летом в кафе. За каждый час работы ему платят 100 р. и высчитывают 20 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 1800 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это общее количество часов, отработанных Андреем за неделю, а $y$ — общее количество разбитых им тарелок за ту же неделю.

Исходя из условий, составим уравнение, отражающее заработок Андрея. Заработок за часы ($100 \cdot x$) минус вычет за тарелки ($20 \cdot y$) равен итоговой сумме (1800 р.): $100x - 20y = 1800$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на их наибольший общий делитель, который равен 20: $\frac{100x}{20} - \frac{20y}{20} = \frac{1800}{20}$ $5x - y = 90$

Из этого уравнения выразим количество разбитых тарелок $y$ через количество отработанных часов $x$: $y = 5x - 90$

Так как $x$ и $y$ обозначают физические величины (часы и тарелки), они должны быть целыми и неотрицательными числами. Условие $y \ge 0$ накладывает ограничение на $x$: $5x - 90 \ge 0$ $5x \ge 90$ $x \ge 18$ Это означает, что Андрей работал не менее 18 часов.

В задаче также есть второе ограничение: Андрей работает не более 3 часов в день. Поскольку речь идет о "прошедшей неделе", в которой максимум 7 дней, мы можем найти верхнюю границу для количества отработанных часов: $x \le 3 \text{ часа/день} \times 7 \text{ дней} = 21 \text{ час}$ Следовательно, Андрей работал не более 21 часа.

Объединив оба условия для $x$, получаем, что общее количество отработанных часов является целым числом в диапазоне от 18 до 21 включительно: $18 \le x \le 21$. Теперь мы можем рассмотреть все возможные целочисленные значения $x$ в этом диапазоне, чтобы найти соответствующие значения $y$.

• Если $x = 18$ часов, то количество разбитых тарелок:
  $y = 5(18) - 90 = 90 - 90 = 0$.
  Такой график возможен, например, если Андрей работал 6 дней по 3 часа.
• Если $x = 19$ часов, то количество разбитых тарелок:
  $y = 5(19) - 90 = 95 - 90 = 5$.
  Такой график возможен, например, если Андрей работал 6 дней по 3 часа и еще 1 час в седьмой день.
• Если $x = 20$ часов, то количество разбитых тарелок:
  $y = 5(20) - 90 = 100 - 90 = 10$.
  Такой график возможен, например, если Андрей работал 6 дней по 3 часа и еще 2 часа в седьмой день.
• Если $x = 21$ час, то количество разбитых тарелок:
  $y = 5(21) - 90 = 105 - 90 = 15$.
  Такой график возможен, если Андрей работал 7 дней по 3 часа.

Все четыре полученных варианта удовлетворяют всем условиям, приведенным в задаче. Таким образом, задача имеет несколько правильных решений.

Ответ: Возможны четыре варианта:

• Андрей отработал 18 часов и разбил 0 тарелок.
• Андрей отработал 19 часов и разбил 5 тарелок.
• Андрей отработал 20 часов и разбил 10 тарелок.
• Андрей отработал 21 час и разбил 15 тарелок.

585 На неделю учащимся 8 класса было предложено для решения два списка задач: по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решённую задачу по алгебре выставлялось 4 балла, а по геометрии — 5 баллов. Николай за выполненную им работу получил 80 баллов. Сколько задач по алгебре и сколько по геометрии решил Николай, если известно, что в каждом списке было 15 задач?

Пусть $x$ — количество правильно решённых задач по алгебре, а $y$ — количество правильно решённых задач по геометрии.

За каждую решённую задачу по алгебре начислялось 4 балла, а по геометрии — 5 баллов. Общая сумма баллов Николая — 80. Мы можем составить следующее уравнение:

$4x + 5y = 80$

По условию, в каждом списке было по 15 задач, поэтому количество решённых задач по каждому предмету не может превышать 15. Также, $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами. Таким образом, мы имеем следующие ограничения:

$0 \le x \le 15$
$0 \le y \le 15$

Будем решать это уравнение в целых числах. Выразим $4x$ из уравнения:

$4x = 80 - 5y$

Из этого уравнения видно, что правая часть $80 - 5y$ должна делиться на 4. Поскольку число 80 делится на 4, то и слагаемое $5y$ также должно делиться на 4. Так как числа 5 и 4 взаимно простые, это означает, что $y$ должен быть кратен 4.

Учитывая ограничение $0 \le y \le 15$, найдём все возможные значения $y$, которые делятся на 4:

$y$ может быть равен 0, 4, 8 или 12.

Теперь подставим каждое из этих значений в уравнение и найдём соответствующее значение $x$, проверив, удовлетворяет ли оно условию $0 \le x \le 15$:

1. Если $y = 0$: $4x = 80 - 5 \cdot 0 \implies 4x = 80 \implies x = 20$. Это значение не подходит, так как $x > 15$.

2. Если $y = 4$: $4x = 80 - 5 \cdot 4 \implies 4x = 60 \implies x = 15$. Это решение подходит, так как $0 \le 15 \le 15$. Проверка: $4(15) + 5(4) = 60 + 20 = 80$.

3. Если $y = 8$: $4x = 80 - 5 \cdot 8 \implies 4x = 40 \implies x = 10$. Это решение подходит, так как $0 \le 10 \le 15$. Проверка: $4(10) + 5(8) = 40 + 40 = 80$.

4. Если $y = 12$: $4x = 80 - 5 \cdot 12 \implies 4x = 20 \implies x = 5$. Это решение подходит, так как $0 \le 5 \le 15$. Проверка: $4(5) + 5(12) = 20 + 60 = 80$.

Следующее кратное 4 число для $y$ — это 16, что выходит за рамки условия $y \le 15$.

Таким образом, у задачи есть три возможных решения.

Ответ: Николай мог решить:
• 15 задач по алгебре и 4 задачи по геометрии,
• или 10 задач по алгебре и 8 задач по геометрии,
• или 5 задач по алгебре и 12 задач по геометрии.