Номер 585, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 585, страница 173.

Условие.

585 На неделю учащимся 8 класса было предложено для решения два списка задач: по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решённую задачу по алгебре выставлялось 4 балла, а по геометрии — 5 баллов. Николай за выполненную им работу получил 80 баллов. Сколько задач по алгебре и сколько по геометрии решил Николай, если известно, что в каждом списке было 15 задач?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $x$ — количество правильно решённых задач по алгебре, а $y$ — количество правильно решённых задач по геометрии.

За каждую решённую задачу по алгебре начислялось 4 балла, а по геометрии — 5 баллов. Общая сумма баллов Николая — 80. Мы можем составить следующее уравнение:

$4x + 5y = 80$

По условию, в каждом списке было по 15 задач, поэтому количество решённых задач по каждому предмету не может превышать 15. Также, $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами. Таким образом, мы имеем следующие ограничения:

$0 \le x \le 15$
$0 \le y \le 15$

Будем решать это уравнение в целых числах. Выразим $4x$ из уравнения:

$4x = 80 - 5y$

Из этого уравнения видно, что правая часть $80 - 5y$ должна делиться на 4. Поскольку число 80 делится на 4, то и слагаемое $5y$ также должно делиться на 4. Так как числа 5 и 4 взаимно простые, это означает, что $y$ должен быть кратен 4.

Учитывая ограничение $0 \le y \le 15$, найдём все возможные значения $y$, которые делятся на 4:

$y$ может быть равен 0, 4, 8 или 12.

Теперь подставим каждое из этих значений в уравнение и найдём соответствующее значение $x$, проверив, удовлетворяет ли оно условию $0 \le x \le 15$:

1. Если $y = 0$: $4x = 80 - 5 \cdot 0 \implies 4x = 80 \implies x = 20$. Это значение не подходит, так как $x > 15$.

2. Если $y = 4$: $4x = 80 - 5 \cdot 4 \implies 4x = 60 \implies x = 15$. Это решение подходит, так как $0 \le 15 \le 15$. Проверка: $4(15) + 5(4) = 60 + 20 = 80$.

3. Если $y = 8$: $4x = 80 - 5 \cdot 8 \implies 4x = 40 \implies x = 10$. Это решение подходит, так как $0 \le 10 \le 15$. Проверка: $4(10) + 5(8) = 40 + 40 = 80$.

4. Если $y = 12$: $4x = 80 - 5 \cdot 12 \implies 4x = 20 \implies x = 5$. Это решение подходит, так как $0 \le 5 \le 15$. Проверка: $4(5) + 5(12) = 20 + 60 = 80$.

Следующее кратное 4 число для $y$ — это 16, что выходит за рамки условия $y \le 15$.

Таким образом, у задачи есть три возможных решения.

Ответ: Николай мог решить:
• 15 задач по алгебре и 4 задачи по геометрии,
• или 10 задач по алгебре и 8 задач по геометрии,
• или 5 задач по алгебре и 12 задач по геометрии.