Номер 3, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 177.

Условие.

Во фрагменте 2 рассмотрены два способа построения графика уравнения $x - 3y + 6 = 0$. Что общего у этих способов и чем они различаются? Пользуясь этим примером как образцом, постройте двумя способами прямую, которая задаётся уравнением $2x - y = 4$.

Решение 3.

Решение 4.

В задаче рассматриваются два способа построения графика линейного уравнения. Хотя сам "фрагмент 2" не приведён, можно предположить, что речь идёт о двух стандартных методах: 1) построение по двум произвольным точкам и 2) построение по точкам пересечения с осями координат.

Общее у этих способов:
Оба способа основаны на фундаментальном свойстве прямой: для её построения достаточно знать координаты двух точек, которые ей принадлежат. В обоих случаях алгоритм сводится к тому, чтобы найти две пары координат $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению, нанести соответствующие точки на координатную плоскость и провести через них прямую.

Различия между способами:
Различие заключается в принципе выбора этих двух точек.
• В первом способе (по двум произвольным точкам) мы можем выбрать два любых удобных значения для одной переменной (например, $x$) и вычислить соответствующие значения для второй переменной ($y$). Выбор полностью произволен.
• Во втором способе (по точкам пересечения с осями) выбор точек строго определён. Мы находим точки, в которых прямая пересекает оси координат. Для этого сначала полагаем $x=0$, чтобы найти точку пересечения с осью $Oy$, а затем $y=0$, чтобы найти точку пересечения с осью $Ox$. Этот метод является частным случаем первого.

Далее построим прямую, заданную уравнением $2x - y = 4$, двумя способами.

Способ 1: Построение по двум произвольным точкам
Для удобства вычислений выразим $y$ из уравнения:
$2x - y = 4$
$y = 2x - 4$
Теперь найдём координаты двух произвольных точек, принадлежащих этой прямой.
1. Пусть $x = 1$. Тогда $y = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2$. Получили первую точку $(1; -2)$.
2. Пусть $x = 3$. Тогда $y = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$. Получили вторую точку $(3; 2)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(1; -2)$ и $(3; 2)$ и проведя через них прямую, мы получим искомый график.
Ответ: Прямая строится по точкам с координатами $(1; -2)$ и $(3; 2)$.

Способ 2: Построение по точкам пересечения с осями координат
Используем исходное уравнение $2x - y = 4$.
1. Найдём точку пересечения прямой с осью ординат ($Oy$). Для этого подставим в уравнение $x = 0$:
$2 \cdot 0 - y = 4$
$-y = 4$
$y = -4$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -4)$.
2. Найдём точку пересечения прямой с осью абсцисс ($Ox$). Для этого подставим в уравнение $y = 0$:
$2x - 0 = 4$
$2x = 4$
$x = 2$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(2; 0)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(0; -4)$ и $(2; 0)$ и проведя через них прямую, мы получим тот же самый график.
Ответ: Прямая строится по точкам пересечения с осями координат: $(0; -4)$ и $(2; 0)$.