Номер 581, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 581, страница 172.

Условие.

Решите задачу, составив по её условию уравнение с двумя переменными (581—585).

581 Петя заплатил 19 р., используя только пятирублёвые и двухрублёвые монеты. Как он мог произвести оплату? Найдите все возможные варианты.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи составим уравнение с двумя переменными. Пусть $x$ — это количество пятирублёвых монет, а $y$ — количество двухрублёвых монет. Поскольку $x$ и $y$ представляют собой количество монет, они могут быть только целыми неотрицательными числами.

Общая стоимость пятирублёвых монет составляет $5x$ рублей, а общая стоимость двухрублёвых монет — $2y$ рублей. По условию, общая сумма равна 19 рублям. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$5x + 2y = 19$

Теперь нам нужно найти все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению. Выразим $y$ через $x$:

$2y = 19 - 5x$

$y = \frac{19 - 5x}{2}$

Так как $y$ должно быть целым числом, числитель дроби $(19 - 5x)$ должен быть чётным. Кроме того, количество монет не может быть отрицательным, то есть $y \ge 0$. Это означает, что $19 - 5x \ge 0$, что приводит к неравенству $5x \le 19$, или $x \le 3.8$.

Учитывая, что $x$ — целое и неотрицательное число, возможные значения для $x$ это 0, 1, 2, 3. Проверим каждое из них:

1. Если $x = 0$:
$y = \frac{19 - 5 \cdot 0}{2} = \frac{19}{2} = 9.5$. Это не целое число, поэтому такой вариант не подходит.

2. Если $x = 1$:
$y = \frac{19 - 5 \cdot 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$. Это целое число. Следовательно, один из возможных способов оплаты — это 1 пятирублёвая монета и 7 двухрублёвых монет.
Проверка: $1 \cdot 5 + 7 \cdot 2 = 5 + 14 = 19$ р.

3. Если $x = 2$:
$y = \frac{19 - 5 \cdot 2}{2} = \frac{19 - 10}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$. Это не целое число, поэтому такой вариант не подходит.

4. Если $x = 3$:
$y = \frac{19 - 5 \cdot 3}{2} = \frac{19 - 15}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Это целое число. Следовательно, второй возможный способ оплаты — это 3 пятирублёвые монеты и 2 двухрублёвые монеты.
Проверка: $3 \cdot 5 + 2 \cdot 2 = 15 + 4 = 19$ р.

При $x > 3$ значение $y$ станет отрицательным, что невозможно. Таким образом, мы нашли все возможные варианты.

Ответ: существует два возможных способа произвести оплату: 1 пятирублёвая монета и 7 двухрублёвых монет, либо 3 пятирублёвые монеты и 2 двухрублёвые монеты.