Страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

576 Найдите несколько решений уравнения, предварительно выразив одну переменную через другую:

а) $x + y = 20;$

б) $4x + y = 0;$

в) $2x - y + 10 = 0;$

г) $x - 3y + 1 = 0.$

а) $x + y = 20$

Для нахождения решений уравнения сначала выразим одну переменную через другую. В данном случае удобно выразить y через x. Для этого перенесем x в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$y = 20 - x$

Теперь мы можем выбрать произвольные значения для x и вычислить соответствующие значения y, чтобы получить пары чисел, являющиеся решениями уравнения.

1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = 20 - 0 = 20$. Первое решение: $(0; 20)$.

2. Возьмем $x = 10$. Тогда $y = 20 - 10 = 10$. Второе решение: $(10; 10)$.

3. Возьмем $x = -2$. Тогда $y = 20 - (-2) = 20 + 2 = 22$. Третье решение: $(-2; 22)$.

Ответ: например, $(0; 20)$, $(10; 10)$, $(-2; 22)$.

б) $4x + y = 0$

Выразим переменную y через x. Для этого перенесем слагаемое $4x$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$y = -4x$

Подставим несколько произвольных значений x для нахождения решений:

1. Если $x = 1$, то $y = -4 \cdot 1 = -4$. Решение: $(1; -4)$.

2. Если $x = 0$, то $y = -4 \cdot 0 = 0$. Решение: $(0; 0)$.

3. Если $x = -3$, то $y = -4 \cdot (-3) = 12$. Решение: $(-3; 12)$.

Ответ: например, $(1; -4)$, $(0; 0)$, $(-3; 12)$.

в) $2x - y + 10 = 0$

Выразим переменную y через x. Перенесем $-y$ в правую часть уравнения, чтобы оно стало положительным, а остальные слагаемые оставим в левой части:

$2x + 10 = y$

Для удобства записи поменяем части уравнения местами:

$y = 2x + 10$

Найдем несколько решений, подставляя различные значения x:

1. При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 10 = 10$. Решение: $(0; 10)$.

2. При $x = -5$, $y = 2 \cdot (-5) + 10 = -10 + 10 = 0$. Решение: $(-5; 0)$.

3. При $x = 3$, $y = 2 \cdot 3 + 10 = 6 + 10 = 16$. Решение: $(3; 16)$.

Ответ: например, $(0; 10)$, $(-5; 0)$, $(3; 16)$.

г) $x - 3y + 1 = 0$

В этом уравнении удобнее выразить переменную x через y, так как коэффициент при x равен 1. Перенесем слагаемые $-3y$ и $+1$ в правую часть с противоположными знаками:

$x = 3y - 1$

Теперь будем задавать произвольные значения для y и вычислять соответствующие значения x. Это позволит избежать дробей в расчетах.

1. Пусть $y = 0$. Тогда $x = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Решение: $(-1; 0)$.

2. Пусть $y = 1$. Тогда $x = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Решение: $(2; 1)$.

3. Пусть $y = -1$. Тогда $x = 3 \cdot (-1) - 1 = -3 - 1 = -4$. Решение: $(-4; -1)$.

Ответ: например, $(-1; 0)$, $(2; 1)$, $(-4; -1)$.

577 Запишите все пары натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения:

а) $x + y = 6$;

б) $xy = 12$;

в) $2x + y = 10$;

г) $0.5x + y = 6$.

Указание. Воспользуйтесь методом перебора.

а) Для уравнения $x + y = 6$ необходимо найти все пары натуральных чисел $(x, y)$, сумма которых равна 6. Воспользуемся методом перебора, последовательно подставляя натуральные значения для $x$ и находя соответствующие значения $y$.
Поскольку $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Из уравнения $y = 6 - x$ следует, что $6 - x \ge 1$, откуда $x \le 5$.
Переберём все возможные натуральные значения $x$ от 1 до 5:

• Если $x = 1$, то $y = 6 - 1 = 5$. Получаем пару (1; 5).
• Если $x = 2$, то $y = 6 - 2 = 4$. Получаем пару (2; 4).
• Если $x = 3$, то $y = 6 - 3 = 3$. Получаем пару (3; 3).
• Если $x = 4$, то $y = 6 - 4 = 2$. Получаем пару (4; 2).
• Если $x = 5$, то $y = 6 - 5 = 1$. Получаем пару (5; 1).

При $x \ge 6$ значение $y$ не будет натуральным числом.
Ответ: (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1).

б) Для уравнения $xy = 12$ необходимо найти все пары натуральных чисел $(x, y)$, произведение которых равно 12. Это означает, что $x$ и $y$ являются делителями числа 12.
Найдём все натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Теперь составим пары, перебирая значения $x$ из числа делителей:

• Если $x = 1$, то $y = 12 / 1 = 12$. Получаем пару (1; 12).
• Если $x = 2$, то $y = 12 / 2 = 6$. Получаем пару (2; 6).
• Если $x = 3$, то $y = 12 / 3 = 4$. Получаем пару (3; 4).
• Если $x = 4$, то $y = 12 / 4 = 3$. Получаем пару (4; 3).
• Если $x = 6$, то $y = 12 / 6 = 2$. Получаем пару (6; 2).
• Если $x = 12$, то $y = 12 / 12 = 1$. Получаем пару (12; 1).

Ответ: (1; 12), (2; 6), (3; 4), (4; 3), (6; 2), (12; 1).

в) Для уравнения $2x + y = 10$ выразим $y$ через $x$: $y = 10 - 2x$.
Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Из условия $y \ge 1$ получаем неравенство $10 - 2x \ge 1$, что равносильно $9 \ge 2x$, или $x \le 4.5$.
Таким образом, $x$ может принимать натуральные значения 1, 2, 3, 4.
Переберём эти значения:

• Если $x = 1$, то $y = 10 - 2 \cdot 1 = 8$. Получаем пару (1; 8).
• Если $x = 2$, то $y = 10 - 2 \cdot 2 = 6$. Получаем пару (2; 6).
• Если $x = 3$, то $y = 10 - 2 \cdot 3 = 4$. Получаем пару (3; 4).
• Если $x = 4$, то $y = 10 - 2 \cdot 4 = 2$. Получаем пару (4; 2).

При $x=5$ получаем $y=0$, что не является натуральным числом.
Ответ: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2).

г) Для уравнения $0.5x + y = 6$ сначала избавимся от дробного коэффициента, умножив обе части уравнения на 2: $x + 2y = 12$.
Выразим $y$ через $x$: $2y = 12 - x$, откуда $y = \frac{12 - x}{2}$.
Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Из условия $y \ge 1$ следует, что $\frac{12 - x}{2} \ge 1$, то есть $12 - x \ge 2$, откуда $x \le 10$.
Также для того, чтобы $y$ был целым числом, выражение $12 - x$ должно быть чётным и положительным. Так как 12 — чётное число, то и $x$ должен быть чётным.
Следовательно, $x$ может принимать чётные натуральные значения от 1 до 10: 2, 4, 6, 8, 10.
Переберём эти значения:

• Если $x = 2$, то $y = (12 - 2) / 2 = 5$. Получаем пару (2; 5).
• Если $x = 4$, то $y = (12 - 4) / 2 = 4$. Получаем пару (4; 4).
• Если $x = 6$, то $y = (12 - 6) / 2 = 3$. Получаем пару (6; 3).
• Если $x = 8$, то $y = (12 - 8) / 2 = 2$. Получаем пару (8; 2).
• Если $x = 10$, то $y = (12 - 10) / 2 = 1$. Получаем пару (10; 1).

Ответ: (2; 5), (4; 4), (6; 3), (8; 2), (10; 1).

578 Тест по геометрии содержал задачи, оценённые $3$ баллами и $4$ баллами. Среди задач, решённых Олегом, были задачи как одного, так и другого уровня. Всего он набрал $27$ баллов. Могло ли быть так, что Олег решил:

а) пять задач, оценённых $3$ баллами?

б) две задачи, оценённые $4$ баллами?

а)

Пусть $x$ — это количество решённых задач, оценённых в 3 балла, а $y$ — количество решённых задач, оценённых в 4 балла. По условию, Олег решал задачи обоих типов, следовательно, $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Общее количество набранных баллов равно 27, что можно выразить следующим уравнением:

$3x + 4y = 27$

Проверим, могло ли быть так, что Олег решил пять задач, оценённых в 3 балла. Это значит, что $x = 5$. Подставим это значение в наше уравнение и найдём $y$:

$3 \cdot 5 + 4y = 27$

$15 + 4y = 27$

$4y = 27 - 15$

$4y = 12$

$y = \frac{12}{4}$

$y = 3$

Мы получили, что $y=3$. Так как 3 — это натуральное число, то данная ситуация возможна. Олег мог решить 5 задач по 3 балла и 3 задачи по 4 балла. Это удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: да, могло.

б)

Теперь проверим, могло ли быть так, что Олег решил две задачи, оценённые в 4 балла. Это значит, что $y = 2$. Подставим это значение в уравнение $3x + 4y = 27$:

$3x + 4 \cdot 2 = 27$

$3x + 8 = 27$

$3x = 27 - 8$

$3x = 19$

$x = \frac{19}{3}$

Полученное значение $x = \frac{19}{3}$ не является целым числом. Поскольку количество решённых задач может быть только целым числом, такая ситуация невозможна.

Ответ: нет, не могло.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (579–580)

579 Имеет ли уравнение решения? Если имеет, то приведите примеры решений:

а) $x^2 = y^2$;

б) $xy = 8$;

в) $xy = 0$;

г) $x = y^2$;

д) $x^2 + y^2 = 0$;

е) $|x| + |y| + 1 = 0$.

а) Да, уравнение $x^2 = y^2$ имеет бесконечно много решений. Это уравнение равносильно тому, что $x=y$ или $x=-y$. То есть решением является любая пара чисел, которые либо равны, либо противоположны по знаку.
Примеры решений: $(5, 5)$, $(-3, -3)$, $(1, -1)$, $(-4, 4)$.

Ответ: Да, имеет. Например, $(5, 5)$ и $(1, -1)$.

б) Да, уравнение $xy = 8$ имеет бесконечно много решений. Решением является любая пара чисел $(x, y)$, произведение которых равно 8. Для любого ненулевого числа $x$ можно найти соответствующий $y$ по формуле $y = 8/x$.
Примеры решений: $(1, 8)$, $(2, 4)$, $(-4, -2)$, $(16, 0.5)$.

Ответ: Да, имеет. Например, $(2, 4)$ и $(-4, -2)$.

в) Да, уравнение $xy = 0$ имеет бесконечно много решений. Произведение двух чисел равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. То есть $x=0$ или $y=0$.
Примеры решений: $(0, 7)$, $(15, 0)$, $(0, 0)$, $(-2, 0)$.

Ответ: Да, имеет. Например, $(15, 0)$ и $(0, 7)$.

г) Да, уравнение $x = y^2$ имеет бесконечно много решений. Для любого действительного числа $y$ можно вычислить $x$. Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно, решения существуют только для $x \ge 0$.
Примеры решений: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(4, 2)$, $(9, -3)$.

Ответ: Да, имеет. Например, $(4, 2)$ и $(1, -1)$.

д) Да, уравнение $x^2 + y^2 = 0$ имеет решение. Квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда оба числа равны нулю. Следовательно, $x^2 = 0$ и $y^2 = 0$, что означает $x=0$ и $y=0$.
Это уравнение имеет единственное решение: $(0, 0)$.

Ответ: Да, имеет. Решение: $(0, 0)$.

е) Нет, уравнение $|x| + |y| + 1 = 0$ не имеет решений. Модуль любого действительного числа — неотрицательная величина ($|x| \ge 0$ и $|y| \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $|x| + |y| \ge 0$. Если к этой сумме прибавить 1, результат будет строго положительным: $|x| + |y| + 1 \ge 1$. Левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю.

Ответ: Нет, не имеет решений.

580 Объясните, почему решением данного уравнения не может служить пара положительных чисел:

a) $4x + 3y = -5;$

б) $-2x - 7y = 8.$

а) Рассмотрим уравнение $4x + 3y = -5$.

По условию, мы должны объяснить, почему пара положительных чисел $(x, y)$ не может быть решением этого уравнения. Положительные числа — это числа, которые больше нуля, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Проанализируем левую часть уравнения $4x + 3y$ при этих условиях:

1. Если $x$ — положительное число ($x > 0$), то произведение $4x$ также будет положительным числом, так как является произведением двух положительных чисел ($4$ и $x$). То есть, $4x > 0$.

2. Аналогично, если $y$ — положительное число ($y > 0$), то произведение $3y$ также будет положительным числом ($3y > 0$).

Сумма двух положительных чисел ($4x$ и $3y$) всегда является положительным числом. Следовательно, вся левая часть уравнения, $4x + 3y$, при любых положительных $x$ и $y$ будет иметь положительное значение.

При этом правая часть уравнения равна $-5$, что является отрицательным числом.

Таким образом, мы получаем противоречие: положительное число (значение левой части) не может быть равно отрицательному числу (значение правой части). Следовательно, пара положительных чисел не может служить решением данного уравнения.

Ответ: Если $x$ и $y$ — положительные числа, то левая часть уравнения $4x + 3y$ всегда положительна, так как является суммой двух положительных слагаемых. Правая часть уравнения равна $-5$ и является отрицательной. Положительное число не может равняться отрицательному.

б) Рассмотрим уравнение $-2x - 7y = 8$.

Предположим, что решением является пара положительных чисел $(x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$.

Проанализируем левую часть уравнения $-2x - 7y$ при этих условиях:

1. Если $x$ — положительное число ($x > 0$), то произведение $-2x$ будет отрицательным числом, так как является произведением отрицательного числа ($-2$) и положительного ($x$). То есть, $-2x < 0$.

2. Аналогично, если $y$ — положительное число ($y > 0$), то произведение $-7y$ также будет отрицательным числом ($-7y < 0$).

Сумма двух отрицательных чисел ($-2x$ и $-7y$) всегда является отрицательным числом. Следовательно, вся левая часть уравнения, $-2x - 7y$, при любых положительных $x$ и $y$ будет иметь отрицательное значение.

При этом правая часть уравнения равна $8$, что является положительным числом.

Мы снова приходим к противоречию: отрицательное число (значение левой части) не может быть равно положительному числу (значение правой части). Таким образом, пара положительных чисел не может являться решением этого уравнения.

Ответ: Если $x$ и $y$ — положительные числа, то левая часть уравнения $-2x - 7y$ всегда отрицательна, так как является суммой двух отрицательных слагаемых. Правая часть уравнения равна $8$ и является положительной. Отрицательное число не может равняться положительному.

Решите задачу, составив по её условию уравнение с двумя переменными (581—585).

581 Петя заплатил 19 р., используя только пятирублёвые и двухрублёвые монеты. Как он мог произвести оплату? Найдите все возможные варианты.

Для решения задачи составим уравнение с двумя переменными. Пусть $x$ — это количество пятирублёвых монет, а $y$ — количество двухрублёвых монет. Поскольку $x$ и $y$ представляют собой количество монет, они могут быть только целыми неотрицательными числами.

Общая стоимость пятирублёвых монет составляет $5x$ рублей, а общая стоимость двухрублёвых монет — $2y$ рублей. По условию, общая сумма равна 19 рублям. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$5x + 2y = 19$

Теперь нам нужно найти все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению. Выразим $y$ через $x$:

$2y = 19 - 5x$

$y = \frac{19 - 5x}{2}$

Так как $y$ должно быть целым числом, числитель дроби $(19 - 5x)$ должен быть чётным. Кроме того, количество монет не может быть отрицательным, то есть $y \ge 0$. Это означает, что $19 - 5x \ge 0$, что приводит к неравенству $5x \le 19$, или $x \le 3.8$.

Учитывая, что $x$ — целое и неотрицательное число, возможные значения для $x$ это 0, 1, 2, 3. Проверим каждое из них:

1. Если $x = 0$:
$y = \frac{19 - 5 \cdot 0}{2} = \frac{19}{2} = 9.5$. Это не целое число, поэтому такой вариант не подходит.

2. Если $x = 1$:
$y = \frac{19 - 5 \cdot 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$. Это целое число. Следовательно, один из возможных способов оплаты — это 1 пятирублёвая монета и 7 двухрублёвых монет.
Проверка: $1 \cdot 5 + 7 \cdot 2 = 5 + 14 = 19$ р.

3. Если $x = 2$:
$y = \frac{19 - 5 \cdot 2}{2} = \frac{19 - 10}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$. Это не целое число, поэтому такой вариант не подходит.

4. Если $x = 3$:
$y = \frac{19 - 5 \cdot 3}{2} = \frac{19 - 15}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Это целое число. Следовательно, второй возможный способ оплаты — это 3 пятирублёвые монеты и 2 двухрублёвые монеты.
Проверка: $3 \cdot 5 + 2 \cdot 2 = 15 + 4 = 19$ р.

При $x > 3$ значение $y$ станет отрицательным, что невозможно. Таким образом, мы нашли все возможные варианты.

Ответ: существует два возможных способа произвести оплату: 1 пятирублёвая монета и 7 двухрублёвых монет, либо 3 пятирублёвые монеты и 2 двухрублёвые монеты.

582 Ученики начальной школы на уроке математики выкладывают из палочек пятиугольники и шестиугольники. Всего в наборе 100 палочек. Сколько пятиугольников и сколько шестиугольников можно выложить, чтобы использованными оказались все палочки?

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы составить математическое уравнение. Пусть $x$ — это количество пятиугольников, а $y$ — количество шестиугольников.

Мы знаем, что:

• Для одного пятиугольника нужно 5 палочек.
• Для одного шестиугольника нужно 6 палочек.
• Всего в наборе 100 палочек.

Поскольку нужно использовать все 100 палочек, общее количество палочек, использованных для всех фигур, должно быть равно 100. Это можно выразить уравнением:

$5x + 6y = 100$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами, так как они представляют количество фигур.

Теперь решим это уравнение. Выразим из него $5x$:

$5x = 100 - 6y$

Левая часть уравнения, $5x$, очевидно, делится на 5. Это значит, что и правая часть, $100 - 6y$, также должна делиться на 5. Число 100 делится на 5, поэтому, чтобы вся разность делилась на 5, необходимо, чтобы и вычитаемое $6y$ делилось на 5. Поскольку числа 6 и 5 взаимно простые (не имеют общих делителей, кроме 1), то на 5 должно делиться число $y$.

Кроме того, количество палочек на шестиугольники ($6y$) не может быть больше 100:

$6y \le 100$

$y \le \frac{100}{6}$

$y \le 16 \frac{2}{3}$

Итак, $y$ (количество шестиугольников) должен быть целым неотрицательным числом, кратным 5, и не больше 16. Возможные значения для $y$: 0, 5, 10, 15.

Рассмотрим каждый возможный случай:

Случай 1: 0 шестиугольников

Если $y = 0$, подставляем это значение в уравнение:

$5x + 6(0) = 100 \implies 5x = 100 \implies x = 20$

Это означает, что можно сложить 20 пятиугольников и 0 шестиугольников.

Случай 2: 5 шестиугольников

Если $y = 5$, подставляем в уравнение:

$5x + 6(5) = 100 \implies 5x + 30 = 100 \implies 5x = 70 \implies x = 14$

Это означает, что можно сложить 14 пятиугольников и 5 шестиугольников.

Случай 3: 10 шестиугольников

Если $y = 10$, подставляем в уравнение:

$5x + 6(10) = 100 \implies 5x + 60 = 100 \implies 5x = 40 \implies x = 8$

Это означает, что можно сложить 8 пятиугольников и 10 шестиугольников.

Случай 4: 15 шестиугольников

Если $y = 15$, подставляем в уравнение:

$5x + 6(15) = 100 \implies 5x + 90 = 100 \implies 5x = 10 \implies x = 2$

Это означает, что можно сложить 2 пятиугольника и 15 шестиугольников.

Если взять следующее кратное 5 число, $y = 20$, то $6(20) = 120$, что уже больше 100 палочек, поэтому другие варианты невозможны.

Ответ: Существует четыре возможных способа использовать все палочки:
1. 20 пятиугольников и 0 шестиугольников.
2. 14 пятиугольников и 5 шестиугольников.
3. 8 пятиугольников и 10 шестиугольников.
4. 2 пятиугольника и 15 шестиугольников.

583 Учащиеся 8 класса выполняли тест, содержащий задания по алгебре и геометрии. За каждый верный ответ на алгебраический вопрос выставлялось 3 балла, а на геометрический — 4 балла. Ученик верно ответил на все вопросы теста и получил 100 баллов. Сколько в тесте было заданий по алгебре и сколько по геометрии?

Обозначим количество заданий по алгебре через $x$, а количество заданий по геометрии — через $y$.

Согласно условию задачи, за каждый правильный ответ по алгебре начисляется 3 балла, а по геометрии — 4 балла. Ученик правильно ответил на все вопросы и получил 100 баллов. Это можно выразить в виде линейного уравнения:

$3x + 4y = 100$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами, так как они обозначают количество заданий.

Для решения этого диофантова уравнения выразим одну переменную через другую. Например, выразим $x$:

$3x = 100 - 4y$

$x = \frac{100 - 4y}{3}$

Поскольку $x$ должно быть целым числом, выражение $100 - 4y$ должно быть кратно 3. Также, так как $x \ge 0$, то $100 - 4y \ge 0$, что ведет к неравенству $4y \le 100$, или $y \le 25$.

Найдем, при каких значениях $y$ (от 0 до 25) выражение $100 - 4y$ делится на 3. Воспользуемся сравнением по модулю 3:

$100 - 4y \equiv 0 \pmod{3}$

Так как $100 \equiv 1 \pmod{3}$ и $4 \equiv 1 \pmod{3}$, подставим эти значения в сравнение:

$1 - 1 \cdot y \equiv 0 \pmod{3}$

$1 - y \equiv 0 \pmod{3}$

$y \equiv 1 \pmod{3}$

Это означает, что число $y$ при делении на 3 должно давать в остатке 1. Учитывая, что $0 \le y \le 25$, возможными значениями для $y$ являются: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25.

Теперь найдем соответствующее значение $x$ для каждого возможного $y$. Получаем следующие пары решений $(x, y)$:

Если $y=1$, то $x = (100 - 4 \cdot 1)/3 = 96/3 = 32$. Решение: 32 задания по алгебре, 1 по геометрии.
Если $y=4$, то $x = (100 - 4 \cdot 4)/3 = 84/3 = 28$. Решение: 28 заданий по алгебре, 4 по геометрии.
Если $y=7$, то $x = (100 - 4 \cdot 7)/3 = 72/3 = 24$. Решение: 24 задания по алгебре, 7 по геометрии.
Если $y=10$, то $x = (100 - 4 \cdot 10)/3 = 60/3 = 20$. Решение: 20 заданий по алгебре, 10 по геометрии.
Если $y=13$, то $x = (100 - 4 \cdot 13)/3 = 48/3 = 16$. Решение: 16 заданий по алгебре, 13 по геометрии.
Если $y=16$, то $x = (100 - 4 \cdot 16)/3 = 36/3 = 12$. Решение: 12 заданий по алгебре, 16 по геометрии.
Если $y=19$, то $x = (100 - 4 \cdot 19)/3 = 24/3 = 8$. Решение: 8 заданий по алгебре, 19 по геометрии.
Если $y=22$, то $x = (100 - 4 \cdot 22)/3 = 12/3 = 4$. Решение: 4 задания по алгебре, 22 по геометрии.
Если $y=25$, то $x = (100 - 4 \cdot 25)/3 = 0/3 = 0$. Решение: 0 заданий по алгебре, 25 по геометрии.

Таким образом, задача имеет 9 возможных решений. Условие, что тест содержит "задания по алгебре и геометрии", может подразумевать, что количество заданий по каждому предмету больше нуля ($x > 0$ и $y > 0$). В этом случае решение с 0 заданий по алгебре можно исключить, и останется 8 возможных вариантов.

Ответ: Существует несколько возможных вариантов состава теста. Возможные комбинации (количество заданий по алгебре, количество заданий по геометрии) могут быть следующими: (32, 1), (28, 4), (24, 7), (20, 10), (16, 13), (12, 16), (8, 19), (4, 22) или (0, 25).