Страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Решите уравнение:

а) $3x^2 + 5x - 2 = 0;$

б) $x^2 - 2x - 1 = 0;$

в) $4x^2 - 12x + 9 = 0.$

а) Дано квадратное уравнение $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a = 3$, $b = 5$, $c = -2$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Найдем первый корень:

$x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.

Найдем второй корень:

$x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = \frac{1}{3}$.

б) Дано квадратное уравнение $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a = 1$, $b = -2$, $c = -1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Таким образом, $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$, $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

в) Дано квадратное уравнение $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, $b^2 = 9 = 3^2$, а $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot 3 = 12x$.

Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

$(2x - 3)^2 = 0$.

Это уравнение равносильно следующему:

$2x - 3 = 0$.

$2x = 3$.

$x = \frac{3}{2} = 1.5$.

Уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).

Альтернативное решение через дискриминант:

$a=4$, $b=-12$, $c=9$.

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D=0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$.

$x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $x = 1.5$.

2 Вычислив дискриминант квадратного уравнения, определите: 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько; 3) рациональными или иррациональными числами являются корни:

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0$;

б) $x^2 + 3x + 5 = 0$;

в) $2x^2 - x - 2 = 0$;

г) $9x^2 + 6x + 1 = 0$.

Для анализа квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ используется дискриминант, который вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$. С помощью дискриминанта можно ответить на все поставленные вопросы.

• 1) и 2) Наличие и количество корней:
  • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
  • Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
  • Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
• 3) Рациональность корней:
  • Если коэффициенты $a, b, c$ являются рациональными числами и дискриминант $D \ge 0$ является полным квадратом (то есть, $\sqrt{D}$ — рациональное число), то корни уравнения также будут рациональными.
  • Если $D > 0$, но не является полным квадратом, то корни будут иррациональными.

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0$

Определим коэффициенты: $a=5$, $b=-11$, $c=2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.
1) Поскольку $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два различных корня.
3) $D = 81 = 9^2$. Так как дискриминант является полным квадратом, корни рациональные.
Ответ: $D=81$; уравнение имеет два рациональных корня.

б) $x^2 + 3x + 5 = 0$

Определим коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
1) Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $D=-11$; уравнение не имеет корней.

в) $2x^2 - x - 2 = 0$

Определим коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.
1) Поскольку $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два различных корня.
3) $D = 17$. Так как дискриминант не является полным квадратом ($\sqrt{17}$ — иррациональное число), корни иррациональные.
Ответ: $D=17$; уравнение имеет два иррациональных корня.

г) $9x^2 + 6x + 1 = 0$

Определим коэффициенты: $a=9$, $b=6$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.
1) Поскольку $D = 0$, уравнение имеет корень.
2) Уравнение имеет один корень (два совпадающих).
3) $D = 0 = 0^2$. Так как дискриминант является полным квадратом, корень рациональный.
Ответ: $D=0$; уравнение имеет один рациональный корень.

3 Решите уравнение:

а) $3x^2 = 2x + 4$;

б) $(x-1)(2x+3)=-2$;

в) $\frac{x^2+7}{2}=4x.$

а) $3x^2 = 2x + 4$

Для решения приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - 2x - 4 = 0$

Здесь коэффициенты: $a=3$, $b=-2$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 4 + 48 = 52$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 13}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{6}$

Сократим полученную дробь на 2:

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$.

б) $(x-1)(2x+3) = -2$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot 2x + x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 = -2$

$2x^2 + 3x - 2x - 3 = -2$

$2x^2 + x - 3 = -2$

Теперь приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся -2 в левую часть:

$2x^2 + x - 3 + 2 = 0$

$2x^2 + x - 1 = 0$

Коэффициенты: $a=2$, $b=1$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $x_1 = 0.5$, $x_2 = -1$.

в) $\frac{x^2+7}{2} = 4x$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:

$x^2 + 7 = 2 \cdot 4x$

$x^2 + 7 = 8x$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся $8x$ в левую часть:

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-8$, $c=7$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm 6}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6}{2}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Решите задачу (4–5).

Вокруг детской площадки прямоугольной формы сооружена изгородь, длина которой 30 м. Определите размеры площадки, если её площадь равна 50 $м^2$.

4.

Для решения этой задачи обозначим длину и ширину прямоугольной детской площадки как $a$ и $b$ соответственно.

Из условия известно, что длина изгороди, сооруженной вокруг площадки, равна 30 м. Длина изгороди представляет собой периметр прямоугольника. Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

Также нам дана площадь площадки, которая равна 50 м². Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

Таким образом, мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 2(a + b) = 30 \\ a \cdot b = 50 \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$a + b = 15$

Теперь у нас есть система:

$ \begin{cases} a + b = 15 \\ a \cdot b = 50 \end{cases} $

Эту систему можно решить методом подстановки. Выразим переменную $a$ из первого уравнения:

$a = 15 - b$

Подставим полученное выражение для $a$ во второе уравнение:

$(15 - b) \cdot b = 50$

Раскроем скобки:

$15b - b^2 = 50$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$b^2 - 15b + 50 = 0$

Решим это уравнение. Можно применить теорему Виета (сумма корней равна 15, произведение равно 50, что дает корни 10 и 5) или найти корни через дискриминант $D = B^2 - 4AC$.

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 225 - 200 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$b_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 5}{2} = 10$

$b_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 5}{2} = 5$

Мы нашли два возможных значения для одной из сторон. Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $a$, используя выражение $a = 15 - b$:

• Если $b = 10$ м, то $a = 15 - 10 = 5$ м.
• Если $b = 5$ м, то $a = 15 - 5 = 10$ м.

В обоих случаях мы получаем, что стороны площадки равны 5 м и 10 м.

Проверим полученные значения:

Периметр: $2(5 + 10) = 2 \cdot 15 = 30$ м.

Площадь: $5 \cdot 10 = 50$ м².

Все условия задачи выполнены.

Ответ: размеры площадки 5 м и 10 м.

5 Сумма $n$ последовательных натуральных чисел, начиная с 1, вычисляется по формуле $A = \frac{n^2 + n}{2}$. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 55?

По условию задачи нам дана формула для вычисления суммы $A$ первых $n$ последовательных натуральных чисел:

$$A = \frac{n^2 + n}{2}$$

Требуется найти количество чисел $n$, сумма которых равна 55. Это означает, что $A = 55$. Подставим это значение в формулу и решим полученное уравнение относительно $n$.

$$55 = \frac{n^2 + n}{2}$$

Для того чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$$110 = n^2 + n$$

Теперь перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $an^2 + bn + c = 0$:

$$n^2 + n - 110 = 0$$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$. В нашем уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=-110$.

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

$$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$$

Поскольку $n$ представляет собой количество натуральных чисел, оно должно быть положительным целым числом. Следовательно, корень $n = -11$ не является решением задачи.

Единственным подходящим решением является $n = 10$.

Ответ: чтобы в сумме получить 55, надо сложить 10 последовательных натуральных чисел, начиная с 1.

6 Решите уравнение:

а) $3x^2 - 2x = 0;$

б) $2x^2 + 3x = x^2;$

в) $2x^2 - 18 = 0;$

г) $4x^2 = 9;$

д) $3x^2 - 9 = 0;$

е) $5x^2 + 1 = 0.$

а) Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$3x^2 - 2x = 0$
$x(3x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас два случая:
1) $x = 0$
2) $3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $0; \frac{2}{3}$.

б) Сначала приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:
$2x^2 + 3x = x^2$
$2x^2 - x^2 + 3x = 0$
$x^2 + 3x = 0$
Теперь вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 3) = 0$
Получаем два корня:
1) $x = 0$
2) $x + 3 = 0 \implies x = -3$
Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$.
Ответ: $-3; 0$.

в) Это неполное квадратное уравнение. Изолируем член с $x^2$:
$2x^2 - 18 = 0$
$2x^2 = 18$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = 9$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{9}$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: $-3; 3$.

г) Это неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:
$4x^2 = 9$
$x^2 = \frac{9}{4}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$
Корни уравнения: $x_1 = \frac{3}{2}$, $x_2 = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}$.

д) Решаем аналогично предыдущим неполным квадратным уравнениям:
$3x^2 - 9 = 0$
$3x^2 = 9$
$x^2 = \frac{9}{3}$
$x^2 = 3$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{3}$
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

е) Изолируем член с $x^2$:
$5x^2 + 1 = 0$
$5x^2 = -1$
$x^2 = -\frac{1}{5}$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

7 Укажите, чему равны произведение и сумма корней уравнения, и определите знаки корней:

а) $x^2 - 7x + 12 = 0;$

б) $2x^2 + 3x + 1 = 0;$

в) $x^2 - 4x - 32 = 0;$

г) $3x^2 + 11x - 4 = 0.$

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$
Перед применением теоремы Виета необходимо убедиться, что уравнение имеет действительные корни, проверив знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, корни существуют.

а) Рассматриваем уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=1, b=-7, c=12$.
Проверим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -(-7) = 7$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c = 12$.
Анализ знаков: так как произведение корней положительно ($12 > 0$), корни имеют одинаковый знак. Поскольку их сумма также положительна ($7 > 0$), оба корня являются положительными.
Ответ: сумма корней равна 7, произведение равно 12; оба корня положительные.

б) Рассматриваем уравнение $2x^2 + 3x + 1 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=2, b=3, c=1$.
Проверим дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
По общей теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -3/2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 1/2$.
Анализ знаков: так как произведение корней положительно ($1/2 > 0$), корни имеют одинаковый знак. Поскольку их сумма отрицательна ($-3/2 < 0$), оба корня являются отрицательными.
Ответ: сумма корней равна $-3/2$, произведение равно $1/2$; оба корня отрицательные.

в) Рассматриваем уравнение $x^2 - 4x - 32 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=1, b=-4, c=-32$.
Проверим дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -(-4) = 4$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c = -32$.
Анализ знаков: так как произведение корней отрицательно ($-32 < 0$), корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
Ответ: сумма корней равна 4, произведение равно -32; корни имеют разные знаки.

г) Рассматриваем уравнение $3x^2 + 11x - 4 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=3, b=11, c=-4$.
Проверим дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
По общей теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -11/3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -4/3$.
Анализ знаков: так как произведение корней отрицательно ($-4/3 < 0$), корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
Ответ: сумма корней равна $-11/3$, произведение равно $-4/3$; корни имеют разные знаки.

8 Разложите, если возможно, на множители:

а) $x^2 + 6x - 7$

б) $4x^2 - 9x + 2$

в) $3x^2 - 2x + 1$

а) $x^2 + 6x - 7$

Чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения, то разложение имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Решим уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Коэффициенты данного уравнения: $a=1$, $b=6$, $c=-7$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Подставим найденные корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 + 6x - 7 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-7)) = (x - 1)(x + 7)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 7)$.

б) $4x^2 - 9x + 2$

Решим уравнение $4x^2 - 9x + 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=4$, $b=-9$, $c=2$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$4x^2 - 9x + 2 = 4(x - 2)(x - \frac{1}{4})$.

Для удобства, умножим множитель 4 на вторую скобку:

$4(x - 2)(x - \frac{1}{4}) = (x - 2) \cdot 4(x - \frac{1}{4}) = (x - 2)(4x - 1)$.

Ответ: $(x - 2)(4x - 1)$.

в) $3x^2 - 2x + 1$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x + 1 = 0$, чтобы определить, возможно ли разложение.

Коэффициенты: $a=3$, $b=-2$, $c=1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что данный квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: разложить на множители невозможно.

8 Чему равны сумма и произведение корней неприведённого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$? Определите знаки корней уравнения:

а) $3x^2 - 5x + 2 = 0$;

б) $2x^2 + 7x - 3 = 0$.

В случае если корни имеют разные знаки, определите, модуль какого из них больше.

Для неприведённого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, справедливы обобщенные формулы Виета:

• Сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Используем эти формулы для анализа данных уравнений.

а) $3x^2 - 5x + 2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.
Прежде всего, убедимся, что корни существуют. Для этого вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем сумму и произведение корней по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$.

Определим знаки корней:
1. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}$ положительно. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).
2. Сумма корней $x_1 + x_2 = \frac{5}{3}$ также положительна. Если бы оба корня были отрицательными, их сумма была бы отрицательной. Следовательно, оба корня положительные.

Ответ: сумма корней равна $\frac{5}{3}$, произведение корней равно $\frac{2}{3}$. Оба корня положительные.

б) $2x^2 + 7x - 3 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = 7$, $c = -3$.
Проверим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 + 24 = 73$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем сумму и произведение корней по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{2}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{3}{2}$.

Определим знаки корней и сравним их модули:
1. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$ отрицательно. Это означает, что корни имеют разные знаки (один корень положительный, а другой отрицательный).
2. Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{7}{2}$ отрицательна. Сумма чисел с разными знаками отрицательна в том случае, если модуль отрицательного числа больше модуля положительного числа.

Ответ: сумма корней равна $-\frac{7}{2}$, произведение корней равно $-\frac{3}{2}$. Корни имеют разные знаки; модуль отрицательного корня больше.

9 Приведите пример квадратного трёхчлена. Запишите формулу для разложения на множители квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, корни которого равны $x_1$ и $x_2$. Разложите, если возможно, на множители многочлен $-2x^2 + x + 3$.

Пример квадратного трёхчлена

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причём $a \neq 0$. Например, $3x^2 - 10x + 1$ является квадратным трёхчленом.

Ответ: $3x^2 - 10x + 1$.

Формула для разложения на множители квадратного трёхчлена

Если квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ имеет корни $x_1$ и $x_2$ (то есть, $x_1$ и $x_2$ — решения уравнения $ax^2 + bx + c = 0$), то он раскладывается на множители по следующей формуле:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Ответ: $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Разложение многочлена $-2x^2 + x + 3$ на множители

Чтобы разложить на множители многочлен $-2x^2 + x + 3$, необходимо сначала найти его корни. Для этого решим квадратное уравнение $-2x^2 + x + 3 = 0$.
Коэффициенты данного уравнения: $a = -2, b = 1, c = 3$.
Найдём дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3 = 1 - (-24) = 1 + 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-1 + 5}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-1 - 5}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$.
Теперь применим формулу разложения на множители $a(x - x_1)(x - x_2)$, подставив в неё найденные корни $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{3}{2}$ и коэффициент $a = -2$:
$-2x^2 + x + 3 = -2(x - (-1))(x - \frac{3}{2}) = -2(x + 1)(x - \frac{3}{2})$.
Этот результат можно упростить, внеся множитель $2$ во вторую скобку:
$-2(x + 1)(x - \frac{3}{2}) = -(x + 1) \cdot 2(x - \frac{3}{2}) = -(x + 1)(2x - 3)$.

Ответ: $-2(x + 1)(x - \frac{3}{2})$ или в более простом виде $-(x + 1)(2x - 3)$.