Номер 5, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 5, страница 165.

Условие.

5 Сумма $n$ последовательных натуральных чисел, начиная с 1, вычисляется по формуле $A = \frac{n^2 + n}{2}$. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 55?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

По условию задачи нам дана формула для вычисления суммы $A$ первых $n$ последовательных натуральных чисел:

$$A = \frac{n^2 + n}{2}$$

Требуется найти количество чисел $n$, сумма которых равна 55. Это означает, что $A = 55$. Подставим это значение в формулу и решим полученное уравнение относительно $n$.

$$55 = \frac{n^2 + n}{2}$$

Для того чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$$110 = n^2 + n$$

Теперь перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $an^2 + bn + c = 0$:

$$n^2 + n - 110 = 0$$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$. В нашем уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=-110$.

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

$$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$$

Поскольку $n$ представляет собой количество натуральных чисел, оно должно быть положительным целым числом. Следовательно, корень $n = -11$ не является решением задачи.

Единственным подходящим решением является $n = 10$.

Ответ: чтобы в сумме получить 55, надо сложить 10 последовательных натуральных чисел, начиная с 1.