Номер 7, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 7, страница 165.

Условие.

7 Укажите, чему равны произведение и сумма корней уравнения, и определите знаки корней:

а) $x^2 - 7x + 12 = 0;$

б) $2x^2 + 3x + 1 = 0;$

в) $x^2 - 4x - 32 = 0;$

г) $3x^2 + 11x - 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$
Перед применением теоремы Виета необходимо убедиться, что уравнение имеет действительные корни, проверив знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, корни существуют.

а) Рассматриваем уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=1, b=-7, c=12$.
Проверим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -(-7) = 7$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c = 12$.
Анализ знаков: так как произведение корней положительно ($12 > 0$), корни имеют одинаковый знак. Поскольку их сумма также положительна ($7 > 0$), оба корня являются положительными.
Ответ: сумма корней равна 7, произведение равно 12; оба корня положительные.

б) Рассматриваем уравнение $2x^2 + 3x + 1 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=2, b=3, c=1$.
Проверим дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
По общей теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -3/2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 1/2$.
Анализ знаков: так как произведение корней положительно ($1/2 > 0$), корни имеют одинаковый знак. Поскольку их сумма отрицательна ($-3/2 < 0$), оба корня являются отрицательными.
Ответ: сумма корней равна $-3/2$, произведение равно $1/2$; оба корня отрицательные.

в) Рассматриваем уравнение $x^2 - 4x - 32 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=1, b=-4, c=-32$.
Проверим дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = -(-4) = 4$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c = -32$.
Анализ знаков: так как произведение корней отрицательно ($-32 < 0$), корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
Ответ: сумма корней равна 4, произведение равно -32; корни имеют разные знаки.

г) Рассматриваем уравнение $3x^2 + 11x - 4 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a=3, b=11, c=-4$.
Проверим дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
По общей теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -11/3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -4/3$.
Анализ знаков: так как произведение корней отрицательно ($-4/3 < 0$), корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
Ответ: сумма корней равна $-11/3$, произведение равно $-4/3$; корни имеют разные знаки.