Номер 8, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 8, страница 165.

Условие.

8 Разложите, если возможно, на множители:

а) $x^2 + 6x - 7$

б) $4x^2 - 9x + 2$

в) $3x^2 - 2x + 1$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 + 6x - 7$

Чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения, то разложение имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Решим уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Коэффициенты данного уравнения: $a=1$, $b=6$, $c=-7$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Подставим найденные корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 + 6x - 7 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-7)) = (x - 1)(x + 7)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 7)$.

б) $4x^2 - 9x + 2$

Решим уравнение $4x^2 - 9x + 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=4$, $b=-9$, $c=2$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$4x^2 - 9x + 2 = 4(x - 2)(x - \frac{1}{4})$.

Для удобства, умножим множитель 4 на вторую скобку:

$4(x - 2)(x - \frac{1}{4}) = (x - 2) \cdot 4(x - \frac{1}{4}) = (x - 2)(4x - 1)$.

Ответ: $(x - 2)(4x - 1)$.

в) $3x^2 - 2x + 1$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x + 1 = 0$, чтобы определить, возможно ли разложение.

Коэффициенты: $a=3$, $b=-2$, $c=1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что данный квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: разложить на множители невозможно.