Номер 2, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 165.

Условие.

2 Вычислив дискриминант квадратного уравнения, определите: 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько; 3) рациональными или иррациональными числами являются корни:

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0$;

б) $x^2 + 3x + 5 = 0$;

в) $2x^2 - x - 2 = 0$;

г) $9x^2 + 6x + 1 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для анализа квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ используется дискриминант, который вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$. С помощью дискриминанта можно ответить на все поставленные вопросы.

• 1) и 2) Наличие и количество корней:
  • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
  • Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
  • Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
• 3) Рациональность корней:
  • Если коэффициенты $a, b, c$ являются рациональными числами и дискриминант $D \ge 0$ является полным квадратом (то есть, $\sqrt{D}$ — рациональное число), то корни уравнения также будут рациональными.
  • Если $D > 0$, но не является полным квадратом, то корни будут иррациональными.

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0$

Определим коэффициенты: $a=5$, $b=-11$, $c=2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.
1) Поскольку $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два различных корня.
3) $D = 81 = 9^2$. Так как дискриминант является полным квадратом, корни рациональные.
Ответ: $D=81$; уравнение имеет два рациональных корня.

б) $x^2 + 3x + 5 = 0$

Определим коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
1) Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $D=-11$; уравнение не имеет корней.

в) $2x^2 - x - 2 = 0$

Определим коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.
1) Поскольку $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два различных корня.
3) $D = 17$. Так как дискриминант не является полным квадратом ($\sqrt{17}$ — иррациональное число), корни иррациональные.
Ответ: $D=17$; уравнение имеет два иррациональных корня.

г) $9x^2 + 6x + 1 = 0$

Определим коэффициенты: $a=9$, $b=6$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.
1) Поскольку $D = 0$, уравнение имеет корень.
2) Уравнение имеет один корень (два совпадающих).
3) $D = 0 = 0^2$. Так как дискриминант является полным квадратом, корень рациональный.
Ответ: $D=0$; уравнение имеет один рациональный корень.