Номер 6, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 6, страница 164.

Условие.

6 Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + c = 0$. Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней может иметь уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + c = 0$.

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$ — это уравнение, в котором коэффициент при переменной в первой степени (коэффициент $b$) равен нулю. Для того чтобы уравнение считалось квадратным, коэффициент $a$ должен быть отличен от нуля ($a \neq 0$). В общем случае также предполагается, что свободный член $c$ не равен нулю, так как при $c=0$ уравнение становится еще более простым ($ax^2=0$).

В качестве примера можно взять уравнение: $3x^2 - 75 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны $a = 3$ и $c = -75$.

Ответ: $3x^2 - 75 = 0$.

Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида.

Чтобы решить уравнение $3x^2 - 75 = 0$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изолировать слагаемое, содержащее $x^2$. Для этого перенесем свободный член $-75$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$3x^2 = 75$

2. Разделить обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 3:
$x^2 = \frac{75}{3}$
$x^2 = 25$

3. Найти значение $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку квадратный корень из положительного числа имеет два значения (положительное и отрицательное), уравнение будет иметь два корня:
$x = \pm\sqrt{25}$
$x_1 = 5$
$x_2 = -5$

Ответ: Корни уравнения $3x^2 - 75 = 0$ равны $5$ и $-5$.

Сколько корней может иметь уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Количество действительных корней уравнения вида $ax^2 + c = 0$ (при $a \neq 0$) зависит от знаков коэффициентов $a$ и $c$. Для анализа преобразуем уравнение к виду $x^2 = -\frac{c}{a}$.

В зависимости от значения выражения $-\frac{c}{a}$, возможны три ситуации:

1. Два действительных корня.
Это происходит, если $-\frac{c}{a} > 0$. Такое условие выполняется, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют противоположные знаки (например, $a>0$ и $c<0$, или наоборот). В этом случае уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
Пример: $4x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 9$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

2. Один корень.
Это происходит, если $c = 0$. Уравнение принимает вид $ax^2 = 0$. Так как $a \neq 0$, то $x^2 = 0$, откуда следует, что уравнение имеет единственный корень $x = 0$.
Пример: $5x^2 = 0 \implies x^2 = 0$. Корень: $x = 0$.

3. Нет действительных корней.
Это происходит, если $-\frac{c}{a} < 0$. Такое условие выполняется, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные, при $c \neq 0$). В этом случае $x^2$ должен быть равен отрицательному числу, что невозможно в множестве действительных чисел.
Пример: $2x^2 + 50 = 0 \implies x^2 = -25$. Действительных корней нет.

Ответ: Уравнение вида $ax^2 + c = 0$ может иметь два действительных корня, один корень (при $c=0$), или не иметь действительных корней.