Страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

570 a) В секции фигурного катания 5 мальчиков и 7 девочек. Тренер составляет танцевальную пару. Сколько различных пар он может составить?

б) В турнире по борьбе участвуют 7 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться между ними места в турнире?

а)

Эта задача решается с помощью правила умножения в комбинаторике. Чтобы составить одну танцевальную пару, нам нужно выбрать одного мальчика и одну девочку.
Выбрать одного мальчика можно 5 способами, так как в секции 5 мальчиков.
Выбрать одну девочку можно 7 способами, так как в секции 7 девочек.
Поскольку выбор мальчика и выбор девочки являются независимыми событиями, общее количество возможных пар равно произведению числа способов выбора мальчика на число способов выбора девочки.
Количество различных пар = (количество мальчиков) × (количество девочек).
Вычисляем: $5 \times 7 = 35$.
Таким образом, тренер может составить 35 различных танцевальных пар.
Ответ: 35.

б)

В этой задаче нам нужно определить, сколькими способами можно упорядочить 7 спортсменов по 7 местам. Это классическая задача на перестановки.
Первое место может занять любой из 7 спортсменов (7 вариантов).
После того как первое место занято, второе место может занять любой из оставшихся 6 спортсменов (6 вариантов).
Третье место может занять любой из оставшихся 5 спортсменов (5 вариантов), и так далее.
Последнее, седьмое, место займет единственный оставшийся спортсмен (1 вариант).
Общее количество способов распределения мест равно произведению числа вариантов для каждого места. Это вычисляется как факториал числа спортсменов, то есть $7!$.
Вычисляем факториал:
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
Следовательно, существует 5040 способов распределения мест между спортсменами.
Ответ: 5040.

1 Какое уравнение называется квадратным? Приведите пример. Назовите коэффициенты $a, b, c$ этого уравнения.

Какое уравнение называется квадратным?

Квадратным уравнением, или уравнением второй степени, называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. В этом уравнении $x$ является неизвестной переменной, а $a$, $b$ и $c$ — это числовые коэффициенты. Коэффициент $a$ называется старшим (или первым) коэффициентом, $b$ — вторым коэффициентом, а $c$ — свободным членом. Важнейшее условие, которое определяет уравнение как квадратное, — это то, что старший коэффициент не должен быть равен нулю: $a \neq 0$. Если бы $a$ было равно нулю, член с $x^2$ исчез бы, и уравнение стало бы линейным ($bx+c=0$).

Ответ: Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — числовые коэффициенты, и при этом $a \neq 0$.

Приведите пример.

В качестве примера можно привести следующее полное квадратное уравнение: $3x^2 - 14x + 8 = 0$. Оно является квадратным, так как имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$ и коэффициент $a=3$ не равен нулю.

Ответ: Пример квадратного уравнения: $3x^2 - 14x + 8 = 0$.

Назовите коэффициенты a, b, с этого уравнения.

В уравнении $3x^2 - 14x + 8 = 0$ коэффициенты определяются путем сопоставления с общей формой $ax^2 + bx + c = 0$. Старший коэффициент $a$ — это множитель при $x^2$, поэтому $a = 3$. Второй коэффициент $b$ — это множитель при $x$, следовательно, $b = -14$ (важно учитывать знак). Свободный член $c$ — это числовой член без переменной, поэтому $c = 8$.

Ответ: Коэффициенты уравнения $3x^2 - 14x + 8 = 0$ следующие: $a = 3$, $b = -14$, $c = 8$.

2 Запишите формулу корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0.$

2

Для нахождения корней квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$, и $c$ — числовые коэффициенты, и $a \neq 0$, используется формула, которая выводится методом выделения полного квадрата.

Центральным понятием в решении является дискриминант, обозначаемый буквой $D$. Он вычисляется по формуле:
$D = b^2 - 4ac$

Знак дискриминанта определяет количество действительных корней уравнения:

• При $D > 0$ уравнение имеет два различных действительных корня.
• При $D = 0$ уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).
• При $D < 0$ уравнение не имеет действительных корней.

Формула для вычисления корней (если они существуют) через дискриминант выглядит так:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Если объединить эти два шага в одну общую формулу, то она будет иметь следующий вид:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Ответ: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

3 Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это зависит от дискриминанта? Определите, сколько корней имеет уравнение:

a) $3x^2 - 7x - 4 = 0;$

б) $2x^2 + x + 2 = 0;$

в) $4x^2 - 4x + 1 = 0.$

Количество действительных (вещественных) корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) определяется знаком его дискриминанта ($D$).

Дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

• Если дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, квадратное уравнение может иметь два, один или ноль действительных корней.

Определим количество корней для данных уравнений.

а) $3x^2 - 7x - 4 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -7$, $c = -4$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 49 + 48 = 97$.

Поскольку $D = 97 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: 2 корня.

б) $2x^2 + x + 2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 1$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку $D = -15 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней (0 корней).

в) $4x^2 - 4x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = -4$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$.

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. (Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(2x-1)^2 = 0$, что дает один корень $x=0.5$).

Ответ: 1 корень.

4 Запишите формулу корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Стандартное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Корни этого уравнения обычно находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

Рассмотрим случай, когда второй коэффициент $b$ является чётным числом. В этом случае его можно представить в виде $b = 2k$, где $k = \frac{b}{2}$.

Подставим $b = 2k$ в стандартную формулу корней и упростим выражение: $x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a}$

Вынесем множитель 4 из-под знака корня: $x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$

Сократим дробь на 2: $x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Эта формула удобнее для вычислений, когда коэффициент $b$ — чётный. В ней используется так называемый "упрощённый" дискриминант, который часто обозначают $D_1$ или $D/4$: $D_1 = k^2 - ac = (\frac{b}{2})^2 - ac$.

Таким образом, для квадратного уравнения $ax^2 + 2kx + c = 0$ (где $b=2k$), корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.

Ответ: Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с чётным вторым коэффициентом $b$ (т.е. $b = 2k$) формула корней имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.

5 Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx = 0$. Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней имеет уравнение вида $ax^2 + bx = 0$?

Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx = 0$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ — это уравнение, в котором старший коэффициент $a \neq 0$, коэффициент при первой степени $b \neq 0$, а свободный член $c$ равен нулю.
В качестве примера выберем коэффициенты $a=5$ и $b=10$. Тогда уравнение примет вид:
$5x^2 + 10x = 0$

Ответ: Примером такого уравнения является $5x^2 + 10x = 0$.

Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида

Для решения уравнения $5x^2 + 10x = 0$ применяется метод разложения на множители путем вынесения общего множителя за скобки.
1. Находим общий множитель для $5x^2$ и $10x$. Это $5x$. Выносим его за скобки:
$5x(x + 2) = 0$
2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$5x = 0$ или $x + 2 = 0$
3. Решаем каждое из полученных простых уравнений:
Из $5x = 0$ следует, что $x_1 = 0$.
Из $x + 2 = 0$ следует, что $x_2 = -2$.
Таким образом, уравнение $5x^2 + 10x = 0$ имеет два корня.

Ответ: Корни уравнения $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Сколько корней имеет уравнение вида $ax^2 + bx = 0$?

Рассмотрим уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ в общем виде. По определению квадратного уравнения, коэффициент $a$ не может быть равен нулю ($a \neq 0$). Для данного типа неполного квадратного уравнения коэффициент $b$ также не равен нулю ($b \neq 0$).
Разложим левую часть уравнения на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(ax + b) = 0$
Это равенство выполняется в двух случаях, когда один из множителей равен нулю:
1. Первый множитель равен нулю: $x_1 = 0$.
2. Второй множитель равен нулю: $ax + b = 0$. Отсюда $ax = -b$, и так как $a \neq 0$, получаем второй корень $x_2 = -b/a$.
Поскольку мы приняли, что $b \neq 0$, то второй корень $x_2 = -b/a$ также не равен нулю. Значит, корни $x_1=0$ и $x_2=-b/a$ являются различными.
Таким образом, уравнение такого вида всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ (при $a \neq 0$ и $b \neq 0$) всегда имеет два различных корня.

6 Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + c = 0$. Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней может иметь уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Приведите пример неполного квадратного уравнения вида $ax^2 + c = 0$.

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$ — это уравнение, в котором коэффициент при переменной в первой степени (коэффициент $b$) равен нулю. Для того чтобы уравнение считалось квадратным, коэффициент $a$ должен быть отличен от нуля ($a \neq 0$). В общем случае также предполагается, что свободный член $c$ не равен нулю, так как при $c=0$ уравнение становится еще более простым ($ax^2=0$).

В качестве примера можно взять уравнение: $3x^2 - 75 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны $a = 3$ и $c = -75$.

Ответ: $3x^2 - 75 = 0$.

Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида.

Чтобы решить уравнение $3x^2 - 75 = 0$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изолировать слагаемое, содержащее $x^2$. Для этого перенесем свободный член $-75$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$3x^2 = 75$

2. Разделить обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 3:
$x^2 = \frac{75}{3}$
$x^2 = 25$

3. Найти значение $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку квадратный корень из положительного числа имеет два значения (положительное и отрицательное), уравнение будет иметь два корня:
$x = \pm\sqrt{25}$
$x_1 = 5$
$x_2 = -5$

Ответ: Корни уравнения $3x^2 - 75 = 0$ равны $5$ и $-5$.

Сколько корней может иметь уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Количество действительных корней уравнения вида $ax^2 + c = 0$ (при $a \neq 0$) зависит от знаков коэффициентов $a$ и $c$. Для анализа преобразуем уравнение к виду $x^2 = -\frac{c}{a}$.

В зависимости от значения выражения $-\frac{c}{a}$, возможны три ситуации:

1. Два действительных корня.
Это происходит, если $-\frac{c}{a} > 0$. Такое условие выполняется, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют противоположные знаки (например, $a>0$ и $c<0$, или наоборот). В этом случае уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
Пример: $4x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 9$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

2. Один корень.
Это происходит, если $c = 0$. Уравнение принимает вид $ax^2 = 0$. Так как $a \neq 0$, то $x^2 = 0$, откуда следует, что уравнение имеет единственный корень $x = 0$.
Пример: $5x^2 = 0 \implies x^2 = 0$. Корень: $x = 0$.

3. Нет действительных корней.
Это происходит, если $-\frac{c}{a} < 0$. Такое условие выполняется, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные, при $c \neq 0$). В этом случае $x^2$ должен быть равен отрицательному числу, что невозможно в множестве действительных чисел.
Пример: $2x^2 + 50 = 0 \implies x^2 = -25$. Действительных корней нет.

Ответ: Уравнение вида $ax^2 + c = 0$ может иметь два действительных корня, один корень (при $c=0$), или не иметь действительных корней.

7 Сформулируйте теорему Виета. Чему равны произведение и сумма корней уравнения $x^2 - 27x + 180 = 0$?

Сформулируйте теорему Виета

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, которое имеет корни $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие утверждения:

1. Сумма корней уравнения равна коэффициенту при $x$ (в данном случае $p$), взятому с противоположным знаком:
$x_1 + x_2 = -p$.

2. Произведение корней уравнения равно свободному члену (в данном случае $q$):
$x_1 \cdot x_2 = q$.

Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$, формулы Виета имеют вид:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Ответ: Сумма корней приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ равна $-p$, а их произведение равно $q$.

Чему равны произведение и сумма корней уравнения $x^2 - 27x + 180 = 0$?

Дано приведенное квадратное уравнение $x^2 - 27x + 180 = 0$. Его можно записать в общем виде $x^2 + px + q = 0$.

Сравнивая с данным уравнением, находим его коэффициенты: $p = -27$ и $q = 180$.

Прежде чем использовать теорему Виета, убедимся, что уравнение имеет действительные корни. Для этого вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения $a=1, b=-27, c=180$.

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 729 - 720 = 9$.

Поскольку дискриминант $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и, следовательно, теорема Виета применима.

Применяем теорему Виета:

Сумма корней уравнения равна $-p$:
$x_1 + x_2 = -(-27) = 27$.

Произведение корней уравнения равно $q$:
$x_1 \cdot x_2 = 180$.

Ответ: Сумма корней равна 27, а произведение корней равно 180.