Страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

549 Найдите корни квадратного уравнения, не пользуясь формулой корней:

а) $2x^2 - 3x + 1 = 0;$

б) $4x^2 + 7x + 3 = 0;$

в) $3x^2 - 10x - 8 = 0;$

г) $3x^2 + 5x - 2 = 0.$

Указание. Сначала найдите целый корень уравнения.

Для решения данных квадратных уравнений воспользуемся указанием: сначала найдем один целый корень, а затем, используя теорему Виета, найдем второй корень.

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы формулы Виета:
$x_1 + x_2 = -b/a$
$x_1 \cdot x_2 = c/a$

Если у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с целыми коэффициентами есть целый корень, то он является делителем свободного члена $c$. Будем искать целый корень среди делителей свободного члена.

а) $2x^2 - 3x + 1 = 0$

В этом уравнении $a=2, b=-3, c=1$.
Сначала найдем целый корень. Возможные целые корни – это делители свободного члена $c=1$. Делители: $1$ и $-1$.
Проверим $x=1$:
$2 \cdot (1)^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$.
Равенство верно, значит $x_1 = 1$ является корнем уравнения.
Теперь найдем второй корень $x_2$ по теореме Виета, используя формулу $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
$1 \cdot x_2 = 1/2$
$x_2 = 1/2$.
Корни уравнения: $1$ и $1/2$.
Ответ: $1; 1/2$.

б) $4x^2 + 7x + 3 = 0$

В этом уравнении $a=4, b=7, c=3$.
Ищем целый корень среди делителей свободного члена $c=3$. Делители: $\pm 1, \pm 3$.
Проверим $x=-1$:
$4(-1)^2 + 7(-1) + 3 = 4 - 7 + 3 = 0$.
Равенство верно, значит $x_1 = -1$ является корнем уравнения.
Найдем второй корень $x_2$ по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
$(-1) \cdot x_2 = 3/4$
$x_2 = -3/4$.
Корни уравнения: $-1$ и $-3/4$.
Ответ: $-1; -3/4$.

в) $3x^2 - 10x - 8 = 0$

В этом уравнении $a=3, b=-10, c=-8$.
Ищем целый корень среди делителей свободного члена $c=-8$. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.
Проверим $x=4$:
$3(4)^2 - 10(4) - 8 = 3 \cdot 16 - 40 - 8 = 48 - 40 - 8 = 0$.
Равенство верно, значит $x_1 = 4$ является корнем уравнения.
Найдем второй корень $x_2$ по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
$4 \cdot x_2 = -8/3$
$x_2 = \frac{-8/3}{4} = -\frac{8}{3 \cdot 4} = -2/3$.
Корни уравнения: $4$ и $-2/3$.
Ответ: $4; -2/3$.

г) $3x^2 + 5x - 2 = 0$

В этом уравнении $a=3, b=5, c=-2$.
Ищем целый корень среди делителей свободного члена $c=-2$. Делители: $\pm 1, \pm 2$.
Проверим $x=-2$:
$3(-2)^2 + 5(-2) - 2 = 3 \cdot 4 - 10 - 2 = 12 - 10 - 2 = 0$.
Равенство верно, значит $x_1 = -2$ является корнем уравнения.
Найдем второй корень $x_2$ по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
$(-2) \cdot x_2 = -2/3$
$x_2 = \frac{-2/3}{-2} = 1/3$.
Корни уравнения: $-2$ и $1/3$.
Ответ: $-2; 1/3$.

550 Найдите целые корни уравнения, если они есть:

а) $30x^2 - 23x - 2 = 0;$

б) $x^3 + 5x^2 - 17x - 21 = 0;$

в) $2x^3 - 5x^2 - 22x - 15 = 0;$

г) $3x^4 - 2x^2 + 3 = 0;$

д) $x^5 - 3x^4 - 5x^3 + 15x^2 + 4x - 12 = 0.$

Для квадратного уравнения $30x^2 - 23x - 2 = 0$ с целыми коэффициентами, его целые корни, если они существуют, должны быть делителями свободного члена, равного -2. Делителями числа -2 являются $\pm 1$ и $\pm 2$.

Проверим эти возможные корни подстановкой в уравнение:

• Если $x=1$, то $30(1)^2 - 23(1) - 2 = 30 - 23 - 2 = 5 \neq 0$.
• Если $x=-1$, то $30(-1)^2 - 23(-1) - 2 = 30 + 23 - 2 = 51 \neq 0$.
• Если $x=2$, то $30(2)^2 - 23(2) - 2 = 120 - 46 - 2 = 72 \neq 0$.
• Если $x=-2$, то $30(-2)^2 - 23(-2) - 2 = 120 + 46 - 2 = 164 \neq 0$.

Ни один из делителей не является корнем. Также можно найти дискриминант уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 30 \cdot (-2) = 529 + 240 = 769$. Так как корень из 769 не является целым числом, корни уравнения иррациональны, а значит, целых корней нет.

Ответ: целых корней нет.

Для уравнения $x^3 + 5x^2 - 17x - 21 = 0$ целые корни, если они существуют, должны быть делителями свободного члена, равного -21. Делители числа -21: $\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение:

• При $x = -1$: $(-1)^3 + 5(-1)^2 - 17(-1) - 21 = -1 + 5 + 17 - 21 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем.
• При $x = 3$: $3^3 + 5(3)^2 - 17(3) - 21 = 27 + 45 - 51 - 21 = 72 - 72 = 0$. Значит, $x = 3$ является корнем.
• При $x = -7$: $(-7)^3 + 5(-7)^2 - 17(-7) - 21 = -343 + 5(49) + 119 - 21 = -343 + 245 + 119 - 21 = 0$. Значит, $x = -7$ является корнем.

Уравнение третьей степени не может иметь более трех корней. Мы нашли три целых корня, следовательно, это все корни уравнения.

Ответ: -7, -1, 3.

Для уравнения $2x^3 - 5x^2 - 22x - 15 = 0$ целые корни, если они существуют, должны быть делителями свободного члена, равного -15. Делители числа -15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$.

Проверим эти значения:

• При $x = -1$: $2(-1)^3 - 5(-1)^2 - 22(-1) - 15 = -2 - 5 + 22 - 15 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем.
• При $x = 5$: $2(5)^3 - 5(5)^2 - 22(5) - 15 = 2(125) - 5(25) - 110 - 15 = 250 - 125 - 110 - 15 = 0$. Значит, $x = 5$ является корнем.

Поскольку $x = -1$ является корнем, можно разделить многочлен $2x^3 - 5x^2 - 22x - 15$ на двучлен $(x+1)$. В результате деления получим квадратный трехчлен $2x^2 - 7x - 15$.

Теперь решим уравнение $2x^2 - 7x - 15 = 0$. Мы уже знаем, что $x=5$ — один из его корней. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-15}{2}$. Тогда второй корень $x_2 = \frac{-15/2}{5} = -\frac{3}{2}$.

Корень $x_2 = -3/2$ не является целым числом. Таким образом, у исходного уравнения есть только два целых корня.

Ответ: -1, 5.

Рассмотрим уравнение $3x^4 - 2x^2 + 3 = 0$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$. Так как $x$ — искомое целое число, то $y$ должно быть неотрицательным целым числом ($y \geq 0$).

Получаем квадратное уравнение относительно $y$: $3y^2 - 2y + 3 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Следовательно, не существует и действительных значений $x$, удовлетворяющих исходному уравнению. Значит, у уравнения нет и целых корней.

Ответ: целых корней нет.

Рассмотрим уравнение $x^5 - 3x^4 - 5x^3 + 15x^2 + 4x - 12 = 0$. Разложим левую часть на множители методом группировки:

$x^4(x - 3) - 5x^2(x - 3) + 4(x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^4 - 5x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:

1. $x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$.

2. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \geq 0$):

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, корни которого по теореме Виета равны $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$. Оба корня положительные.

Возвращаемся к переменной $x$:

Из $x^2 = 1$ следует $x_{2,3} = \pm 1$.

Из $x^2 = 4$ следует $x_{4,5} = \pm 2$.

Таким образом, мы нашли пять корней, и все они являются целыми числами.

Ответ: -2, -1, 1, 2, 3.

551 Решите уравнение:

а) $x^4 + 2x^3 - x - 2 = 0$;

б) $x^3 - 12x^2 + 9x + 22 = 0$;

в) $2x^3 - 7x^2 + 9 = 0$;

г) $5x^3 - 54x^2 + 39x + 10 = 0$.

а) $x^4 + 2x^3 - x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^4 + 2x^3) - (x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ из первой скобки:

$x^3(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 2)$:

$(x + 2)(x^3 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1. $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

2. $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x_2 = 1$

Уравнение $x^3-1=0$ имеет один действительный корень $x=1$. Два других корня являются комплексными.

Ответ: $-2; 1$.

б) $x^3 - 12x^2 + 9x + 22 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (22): $\pm 1, \pm 2, \pm 11, \pm 22$.

Подставим $x = -1$ в уравнение:

$(-1)^3 - 12(-1)^2 + 9(-1) + 22 = -1 - 12 - 9 + 22 = -22 + 22 = 0$.

Так как получилось верное равенство, $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен $x^3 - 12x^2 + 9x + 22$ делится на $(x+1)$ без остатка.

Выполнив деление многочлена на $(x+1)$, получим в частном $x^2 - 13x + 22$. Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x+1)(x^2 - 13x + 22) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 13x + 22 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение равно 22. Корнями являются $x_2 = 2$ и $x_3 = 11$.

Таким образом, все корни исходного уравнения найдены.

Ответ: $-1; 2; 11$.

в) $2x^3 - 7x^2 + 9 = 0$

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 1/2, \pm 3/2, \pm 9/2$.

Проверим $x = -1$:

$2(-1)^3 - 7(-1)^2 + 9 = 2(-1) - 7(1) + 9 = -2 - 7 + 9 = 0$.

Значит, $x_1 = -1$ — корень уравнения. Разделим многочлен $2x^3 - 7x^2 + 9$ на двучлен $(x+1)$:

$(x+1)(2x^2 - 9x + 9) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 - 9x + 9 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9 = 3^2$.

Найдем корни по формуле:

$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 3}{4}$.

$x_2 = \frac{9+3}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_3 = \frac{9-3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Получили три корня уравнения.

Ответ: $-1; \frac{3}{2}; 3$.

г) $5x^3 - 54x^2 + 39x + 10 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни ищутся в виде $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (10), а $q$ — делитель старшего коэффициента (5).

Проверим один из простейших вариантов, $x=1$:

$5(1)^3 - 54(1)^2 + 39(1) + 10 = 5 - 54 + 39 + 10 = 54 - 54 = 0$.

Таким образом, $x_1 = 1$ является корнем. Разделим многочлен $5x^3 - 54x^2 + 39x + 10$ на $(x-1)$:

$(x-1)(5x^2 - 49x - 10) = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение $5x^2 - 49x - 10 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-49)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 2401 + 200 = 2601$.

Так как $50^2 = 2500$ и $51^2 = 2601$, то $\sqrt{2601} = 51$.

Найдем корни:

$x = \frac{-(-49) \pm 51}{2 \cdot 5} = \frac{49 \pm 51}{10}$.

$x_2 = \frac{49+51}{10} = \frac{100}{10} = 10$.

$x_3 = \frac{49-51}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Все три корня уравнения найдены.

Ответ: $-\frac{1}{5}; 1; 10$.

552 Разложите на множители многочлен:

a) $x^4 - 2x^3 + 2x - 1;$

б) $x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6;$

в) $4x^3 + 21x^2 - 25;$

г) $5x^3 + 3x^2 - 5x - 3.$

а) $x^4 - 2x^3 + 2x - 1$

Для разложения многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^4 - 1) - (2x^3 - 2x)$

Первую скобку, $(x^4 - 1)$, разложим как разность квадратов:

$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$

Из второй скобки, $(2x^3 - 2x)$, вынесем общий множитель $2x$:

$2x^3 - 2x = 2x(x^2 - 1)$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 - 1)$, который можно вынести за скобку:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1 - 2x)$

Упорядочим слагаемые во второй скобке: $(x^2 - 1)(x^2 - 2x + 1)$.

Теперь разложим каждый из множителей. Первый, $(x^2 - 1)$, — это разность квадратов. Второй, $(x^2 - 2x + 1)$, — это квадрат разности:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Собираем все вместе и получаем окончательное разложение:

$(x - 1)(x + 1)(x - 1)^2 = (x + 1)(x - 1)^3$

Ответ: $(x + 1)(x - 1)^3$.

б) $x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6$

Для разложения многочлена на множители найдем его целые корни. Согласно следствию из теоремы Безу, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена. Делители свободного члена $(-6)$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Пусть $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6$. Проверим делители:

$P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 7(-1)^2 - 13(-1) - 6 = 1 - 1 - 7 + 13 - 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем, а $(x+1)$ — множителем.

$P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 - 7(-2)^2 - 13(-2) - 6 = 16 - 8 - 28 + 26 - 6 = 0$. Значит, $x = -2$ является корнем, а $(x+2)$ — множителем.

$P(3) = 3^4 + 3^3 - 7(3^2) - 13(3) - 6 = 81 + 27 - 63 - 39 - 6 = 0$. Значит, $x = 3$ является корнем, а $(x-3)$ — множителем.

Мы нашли три множителя: $(x+1)$, $(x+2)$ и $(x-3)$. Их произведение $(x+1)(x+2)(x-3)$ также является делителем исходного многочлена. Перемножим их:

$(x+1)(x+2)(x-3) = (x^2 + 3x + 2)(x-3) = x^3 - 3x^2 + 3x^2 - 9x + 2x - 6 = x^3 - 7x - 6$.

Теперь разделим исходный многочлен на $x^3 - 7x - 6$, чтобы найти оставшийся множитель:

$(x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6) : (x^3 - 7x - 6)$

Можно выполнить деление столбиком. Результатом будет $(x+1)$.

Таким образом, исходный многочлен равен произведению найденных множителей:

$(x+1)(x+2)(x-3)(x+1) = (x+1)^2(x+2)(x-3)$

Ответ: $(x+1)^2(x+2)(x-3)$.

в) $4x^3 + 21x^2 - 25$

Для разложения многочлена на множители найдем его рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если многочлен имеет рациональный корень $\frac{p}{q}$, то $p$ является делителем свободного члена $(-25)$, а $q$ — делителем старшего коэффициента $(4)$.

Проверим один из простейших возможных корней, $x=1$:

$4(1)^3 + 21(1)^2 - 25 = 4 + 21 - 25 = 0$.

Так как $x=1$ является корнем, то $(x-1)$ — один из множителей. Чтобы найти остальные множители, разделим многочлен $4x^3 + 21x^2 - 25$ на $(x-1)$ (например, столбиком), предварительно добавив $0x$ для полноты:

$(4x^3 + 21x^2 + 0x - 25) : (x-1) = 4x^2 + 25x + 25$.

Таким образом, $4x^3 + 21x^2 - 25 = (x - 1)(4x^2 + 25x + 25)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $4x^2 + 25x + 25$. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 625 - 400 = 225 = 15^2$

Корни равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-40}{8} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

Следовательно, разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$4(x - (-5))(x - (-\frac{5}{4})) = 4(x+5)(x+\frac{5}{4}) = (x+5)(4x+5)$.

Объединяя все множители, получаем:

$(x-1)(x+5)(4x+5)$

Ответ: $(x-1)(x+5)(4x+5)$.

г) $5x^3 + 3x^2 - 5x - 3$

Для разложения данного многочлена на множители применим метод группировки слагаемых:

$5x^3 + 3x^2 - 5x - 3 = (5x^3 - 5x) + (3x^2 - 3)$

Из первой группы вынесем общий множитель $5x$, а из второй — $3$:

$5x(x^2 - 1) + 3(x^2 - 1)$

Теперь вынесем общий для обеих групп множитель $(x^2 - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 1)(5x + 3)$

Множитель $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов и может быть разложен дальше:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Подставим это в наше выражение и получим окончательный ответ:

$(x - 1)(x + 1)(5x + 3)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(5x + 3)$.

553 Определите степень уравнения

$$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0.$$

Выведите формулы Виета для этого уравнения.

Определите степень уравнения $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$.

Степень уравнения — это наибольшая степень переменной в уравнении после того, как оно приведено к стандартному виду многочлена (т.е. после раскрытия всех скобок и приведения подобных слагаемых).

Чтобы определить степень данного уравнения, необходимо раскрыть скобки в его левой части:

$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$

Начнем с перемножения первых двух сомножителей:

$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x \cdot x_2 - x_1 \cdot x + x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.

Теперь умножим полученный двучлен на третий сомножитель $(x - x_3)$:

$(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)(x - x_3) = x \cdot (x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) - x_3 \cdot (x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

Раскроем скобки дальше:

$= x^3 - (x_1 + x_2)x^2 + x_1x_2x - x_3x^2 + (x_1 + x_2)x_3x - x_1x_2x_3$

Сгруппируем члены при одинаковых степенях переменной $x$:

$= x^3 + (- (x_1 + x_2) - x_3)x^2 + (x_1x_2 + (x_1 + x_2)x_3)x - x_1x_2x_3$

$= x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$

После преобразования левой части уравнения мы получили многочлен. Наивысшая степень переменной $x$ в этом многочлене равна 3. Следовательно, исходное уравнение является уравнением третьей степени.

Ответ: Степень уравнения равна 3.

Выведите формулы Виета для этого уравнения.

Формулы Виета устанавливают связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Для уравнения $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$ очевидно, что корнями являются $x_1$, $x_2$ и $x_3$.

В предыдущем пункте мы привели это уравнение к стандартному виду для кубического уравнения:

$x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3 = 0$

Это приведенное кубическое уравнение. Общий вид приведенного кубического уравнения записывается как $x^3 + p_1x^2 + p_2x + p_3 = 0$, где $p_1$, $p_2$, $p_3$ — коэффициенты.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в нашем уравнении и в общем виде, мы можем установить следующие соотношения:

• Коэффициент при $x^2$: $p_1 = -(x_1 + x_2 + x_3)$
• Коэффициент при $x$: $p_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
• Свободный член: $p_3 = -x_1x_2x_3$

Выражая из этих равенств суммы и произведения корней, мы получаем формулы Виета для данного уравнения:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -p_1$
2. Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p_2$
3. Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -p_3$

Эти три соотношения и являются формулами Виета для кубического уравнения.

Ответ: Формулы Виета для уравнения $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$, приведенного к виду $x^3 + p_1x^2 + p_2x + p_3 = 0$, имеют вид:

$x_1 + x_2 + x_3 = -p_1$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p_2$

$x_1x_2x_3 = -p_3$

Решите уравнение (554—557).

554 a) $(x+1)^2 - 2(x+1) + 1 = 0;$

б) $(x-2)^2 - 4(x-2) - 5 = 0;$

В) $(1-x)^2 + 6(1-x) + 8 = 0;$

Г) $(3-x)^2 + (3-x) - 6 = 0.$

а)

Данное уравнение $(x+1)^2-2(x+1)+1=0$ удобно решать методом введения новой переменной. Пусть $t = x+1$.

Подставив $t$ в уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2-2t+1=0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(t-1)^2=0$

Это уравнение имеет единственный корень $t-1=0$, то есть $t=1$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$x+1 = 1$

$x = 1 - 1$

$x = 0$

Ответ: $0$.

б)

Для решения уравнения $(x-2)^2-4(x-2)-5=0$ введем замену. Пусть $t = x-2$.

Уравнение примет вид:

$t^2-4t-5=0$

Это приведенное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2-4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$t_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{4+\sqrt{36}}{2} = \frac{4+6}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{4-\sqrt{36}}{2} = \frac{4-6}{2} = -1$

Теперь сделаем обратную замену для каждого найденного корня $t$:

1) Если $t=5$, то $x-2 = 5$, откуда $x = 5+2$, то есть $x = 7$.

2) Если $t=-1$, то $x-2 = -1$, откуда $x = -1+2$, то есть $x = 1$.

Ответ: $1; 7$.

в)

В уравнении $(1-x)^2+6(1-x)+8=0$ произведем замену переменной. Пусть $t = 1-x$.

Получим следующее квадратное уравнение:

$t^2+6t+8=0$

Решим его, используя теорему Виета. Сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $8$.

$t_1 + t_2 = -6$

$t_1 \cdot t_2 = 8$

Подбором находим корни: $t_1 = -2$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t=-2$, то $1-x = -2$. Отсюда $-x = -2-1$, то есть $-x=-3$ и $x=3$.

2) Если $t=-4$, то $1-x = -4$. Отсюда $-x = -4-1$, то есть $-x=-5$ и $x=5$.

Ответ: $3; 5$.

г)

Решим уравнение $(3-x)^2+(3-x)-6=0$ методом замены переменной. Пусть $t = 3-x$.

Уравнение преобразуется в:

$t^2+t-6=0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант.

$D = b^2-4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-1+\sqrt{25}}{2} = \frac{-1+5}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-1-\sqrt{25}}{2} = \frac{-1-5}{2} = -3$

Проведем обратную замену для каждого значения $t$:

1) При $t=2$ имеем $3-x = 2$. Тогда $-x = 2-3$, то есть $-x=-1$ и $x=1$.

2) При $t=-3$ имеем $3-x = -3$. Тогда $-x = -3-3$, то есть $-x=-6$ и $x=6$.

Ответ: $1; 6$.