Номер 551, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 551, страница 160.

Условие.

551 Решите уравнение:

а) $x^4 + 2x^3 - x - 2 = 0$;

б) $x^3 - 12x^2 + 9x + 22 = 0$;

в) $2x^3 - 7x^2 + 9 = 0$;

г) $5x^3 - 54x^2 + 39x + 10 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^4 + 2x^3 - x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^4 + 2x^3) - (x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ из первой скобки:

$x^3(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 2)$:

$(x + 2)(x^3 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1. $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

2. $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x_2 = 1$

Уравнение $x^3-1=0$ имеет один действительный корень $x=1$. Два других корня являются комплексными.

Ответ: $-2; 1$.

б) $x^3 - 12x^2 + 9x + 22 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (22): $\pm 1, \pm 2, \pm 11, \pm 22$.

Подставим $x = -1$ в уравнение:

$(-1)^3 - 12(-1)^2 + 9(-1) + 22 = -1 - 12 - 9 + 22 = -22 + 22 = 0$.

Так как получилось верное равенство, $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен $x^3 - 12x^2 + 9x + 22$ делится на $(x+1)$ без остатка.

Выполнив деление многочлена на $(x+1)$, получим в частном $x^2 - 13x + 22$. Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x+1)(x^2 - 13x + 22) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 13x + 22 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение равно 22. Корнями являются $x_2 = 2$ и $x_3 = 11$.

Таким образом, все корни исходного уравнения найдены.

Ответ: $-1; 2; 11$.

в) $2x^3 - 7x^2 + 9 = 0$

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 1/2, \pm 3/2, \pm 9/2$.

Проверим $x = -1$:

$2(-1)^3 - 7(-1)^2 + 9 = 2(-1) - 7(1) + 9 = -2 - 7 + 9 = 0$.

Значит, $x_1 = -1$ — корень уравнения. Разделим многочлен $2x^3 - 7x^2 + 9$ на двучлен $(x+1)$:

$(x+1)(2x^2 - 9x + 9) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 - 9x + 9 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9 = 3^2$.

Найдем корни по формуле:

$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 3}{4}$.

$x_2 = \frac{9+3}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_3 = \frac{9-3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Получили три корня уравнения.

Ответ: $-1; \frac{3}{2}; 3$.

г) $5x^3 - 54x^2 + 39x + 10 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни ищутся в виде $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (10), а $q$ — делитель старшего коэффициента (5).

Проверим один из простейших вариантов, $x=1$:

$5(1)^3 - 54(1)^2 + 39(1) + 10 = 5 - 54 + 39 + 10 = 54 - 54 = 0$.

Таким образом, $x_1 = 1$ является корнем. Разделим многочлен $5x^3 - 54x^2 + 39x + 10$ на $(x-1)$:

$(x-1)(5x^2 - 49x - 10) = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение $5x^2 - 49x - 10 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-49)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 2401 + 200 = 2601$.

Так как $50^2 = 2500$ и $51^2 = 2601$, то $\sqrt{2601} = 51$.

Найдем корни:

$x = \frac{-(-49) \pm 51}{2 \cdot 5} = \frac{49 \pm 51}{10}$.

$x_2 = \frac{49+51}{10} = \frac{100}{10} = 10$.

$x_3 = \frac{49-51}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Все три корня уравнения найдены.

Ответ: $-\frac{1}{5}; 1; 10$.