Номер 547, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 547, страница 157.

Условие.

547 a) $(x + y)^2 - 3(x + y) - 10;$

б) $(a + b)^2 - 5(a + b) - 84;$

в) $(m + n)^2 + 3(m + n) + 2;$

г) $(a - 2)^2 + 4(a - 2) - 21;$

д) $(3 - y)^2 - 2(3 - y) - 35;$

е) $(1 - x)^2 - 6(1 - x) + 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x + y)^2 - 3(x + y) - 10$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = x + y$. Тогда исходное выражение примет вид:

$t^2 - 3t - 10$

Это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 3t - 10 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = -(-3) = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -10$.

Методом подбора находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$.

Таким образом, квадратный трехчлен раскладывается на множители следующим образом: $a(t - t_1)(t - t_2) = 1 \cdot (t - 5)(t - (-2)) = (t - 5)(t + 2)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $x + y$:

$(x + y - 5)(x + y + 2)$

Ответ: $(x + y - 5)(x + y + 2)$

б) $(a + b)^2 - 5(a + b) - 84$

Введем замену переменной. Пусть $t = a + b$. Тогда выражение можно переписать в виде:

$t^2 - 5t - 84$

Разложим этот квадратный трехчлен на множители. Для этого найдем корни уравнения $t^2 - 5t - 84 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 5$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -84$.

Подбираем корни. Среди пар делителей числа -84 ищем ту, сумма которой равна 5. Это числа 12 и -7, так как $12 \cdot (-7) = -84$ и $12 + (-7) = 5$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид: $(t - 12)(t - (-7)) = (t - 12)(t + 7)$.

Произведем обратную замену $t = a + b$:

$(a + b - 12)(a + b + 7)$

Ответ: $(a + b - 12)(a + b + 7)$

в) $(m + n)^2 + 3(m + n) + 2$

Введем замену $t = m + n$. Выражение примет вид:

$t^2 + 3t + 2$

Разложим на множители квадратный трехчлен, найдя корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$.

Корни легко подбираются: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Следовательно, разложение на множители: $(t - (-1))(t - (-2)) = (t + 1)(t + 2)$.

Выполним обратную замену $t = m + n$:

$(m + n + 1)(m + n + 2)$

Ответ: $(m + n + 1)(m + n + 2)$

г) $(a - 2)^2 + 4(a - 2) - 21$

Пусть $t = a - 2$. Тогда выражение преобразуется к виду:

$t^2 + 4t - 21$

Разложим на множители, найдя корни уравнения $t^2 + 4t - 21 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -4$ и $t_1 \cdot t_2 = -21$.

Подбираем корни: $t_1 = -7$ и $t_2 = 3$.

Разложение на множители: $(t - (-7))(t - 3) = (t + 7)(t - 3)$.

Выполним обратную замену $t = a - 2$:

$((a - 2) + 7)((a - 2) - 3)$

Упростим выражения в скобках:

$(a - 2 + 7)(a - 2 - 3) = (a + 5)(a - 5)$

Ответ: $(a + 5)(a - 5)$

д) $(3 - y)^2 - 2(3 - y) - 35$

Обозначим $t = 3 - y$. Исходное выражение станет:

$t^2 - 2t - 35$

Разложим на множители, решив уравнение $t^2 - 2t - 35 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -35$.

Подбираем корни: $t_1 = 7$ и $t_2 = -5$.

Разложение на множители: $(t - 7)(t - (-5)) = (t - 7)(t + 5)$.

Сделаем обратную замену $t = 3 - y$:

$((3 - y) - 7)((3 - y) + 5)$

Упростим выражения в скобках:

$(3 - y - 7)(3 - y + 5) = (-y - 4)(8 - y)$

Для более стандартной записи вынесем $-1$ из каждой скобки: $(-1)(y + 4) \cdot (-1)(8 - y) = (y + 4)(y - 8)$.

Ответ: $(y + 4)(y - 8)$

е) $(1 - x)^2 - 6(1 - x) + 8$

Пусть $t = 1 - x$. Получим выражение:

$t^2 - 6t + 8$

Разложим на множители, найдя корни уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 6$ и $t_1 \cdot t_2 = 8$.

Корни легко находятся: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Разложение имеет вид: $(t - 2)(t - 4)$.

Выполним обратную замену $t = 1 - x$:

$((1 - x) - 2)((1 - x) - 4)$

Упростим выражения в скобках:

$(1 - x - 2)(1 - x - 4) = (-x - 1)(-x - 3)$

Вынесем $-1$ из каждой скобки: $(-1)(x + 1) \cdot (-1)(x + 3) = (x + 1)(x + 3)$.

Ответ: $(x + 1)(x + 3)$