Номер 552, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 552, страница 160.

Условие.

552 Разложите на множители многочлен:

a) $x^4 - 2x^3 + 2x - 1;$

б) $x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6;$

в) $4x^3 + 21x^2 - 25;$

г) $5x^3 + 3x^2 - 5x - 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^4 - 2x^3 + 2x - 1$

Для разложения многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^4 - 1) - (2x^3 - 2x)$

Первую скобку, $(x^4 - 1)$, разложим как разность квадратов:

$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$

Из второй скобки, $(2x^3 - 2x)$, вынесем общий множитель $2x$:

$2x^3 - 2x = 2x(x^2 - 1)$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 - 1)$, который можно вынести за скобку:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1 - 2x)$

Упорядочим слагаемые во второй скобке: $(x^2 - 1)(x^2 - 2x + 1)$.

Теперь разложим каждый из множителей. Первый, $(x^2 - 1)$, — это разность квадратов. Второй, $(x^2 - 2x + 1)$, — это квадрат разности:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Собираем все вместе и получаем окончательное разложение:

$(x - 1)(x + 1)(x - 1)^2 = (x + 1)(x - 1)^3$

Ответ: $(x + 1)(x - 1)^3$.

б) $x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6$

Для разложения многочлена на множители найдем его целые корни. Согласно следствию из теоремы Безу, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена. Делители свободного члена $(-6)$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Пусть $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6$. Проверим делители:

$P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 7(-1)^2 - 13(-1) - 6 = 1 - 1 - 7 + 13 - 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем, а $(x+1)$ — множителем.

$P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 - 7(-2)^2 - 13(-2) - 6 = 16 - 8 - 28 + 26 - 6 = 0$. Значит, $x = -2$ является корнем, а $(x+2)$ — множителем.

$P(3) = 3^4 + 3^3 - 7(3^2) - 13(3) - 6 = 81 + 27 - 63 - 39 - 6 = 0$. Значит, $x = 3$ является корнем, а $(x-3)$ — множителем.

Мы нашли три множителя: $(x+1)$, $(x+2)$ и $(x-3)$. Их произведение $(x+1)(x+2)(x-3)$ также является делителем исходного многочлена. Перемножим их:

$(x+1)(x+2)(x-3) = (x^2 + 3x + 2)(x-3) = x^3 - 3x^2 + 3x^2 - 9x + 2x - 6 = x^3 - 7x - 6$.

Теперь разделим исходный многочлен на $x^3 - 7x - 6$, чтобы найти оставшийся множитель:

$(x^4 + x^3 - 7x^2 - 13x - 6) : (x^3 - 7x - 6)$

Можно выполнить деление столбиком. Результатом будет $(x+1)$.

Таким образом, исходный многочлен равен произведению найденных множителей:

$(x+1)(x+2)(x-3)(x+1) = (x+1)^2(x+2)(x-3)$

Ответ: $(x+1)^2(x+2)(x-3)$.

в) $4x^3 + 21x^2 - 25$

Для разложения многочлена на множители найдем его рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если многочлен имеет рациональный корень $\frac{p}{q}$, то $p$ является делителем свободного члена $(-25)$, а $q$ — делителем старшего коэффициента $(4)$.

Проверим один из простейших возможных корней, $x=1$:

$4(1)^3 + 21(1)^2 - 25 = 4 + 21 - 25 = 0$.

Так как $x=1$ является корнем, то $(x-1)$ — один из множителей. Чтобы найти остальные множители, разделим многочлен $4x^3 + 21x^2 - 25$ на $(x-1)$ (например, столбиком), предварительно добавив $0x$ для полноты:

$(4x^3 + 21x^2 + 0x - 25) : (x-1) = 4x^2 + 25x + 25$.

Таким образом, $4x^3 + 21x^2 - 25 = (x - 1)(4x^2 + 25x + 25)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $4x^2 + 25x + 25$. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 625 - 400 = 225 = 15^2$

Корни равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-40}{8} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

Следовательно, разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$4(x - (-5))(x - (-\frac{5}{4})) = 4(x+5)(x+\frac{5}{4}) = (x+5)(4x+5)$.

Объединяя все множители, получаем:

$(x-1)(x+5)(4x+5)$

Ответ: $(x-1)(x+5)(4x+5)$.

г) $5x^3 + 3x^2 - 5x - 3$

Для разложения данного многочлена на множители применим метод группировки слагаемых:

$5x^3 + 3x^2 - 5x - 3 = (5x^3 - 5x) + (3x^2 - 3)$

Из первой группы вынесем общий множитель $5x$, а из второй — $3$:

$5x(x^2 - 1) + 3(x^2 - 1)$

Теперь вынесем общий для обеих групп множитель $(x^2 - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 1)(5x + 3)$

Множитель $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов и может быть разложен дальше:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Подставим это в наше выражение и получим окончательный ответ:

$(x - 1)(x + 1)(5x + 3)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(5x + 3)$.