Номер 556, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 556, страница 161.

Условие.

556 a) $x - 6\sqrt{x} + 5 = 0;$

б) $3x - 10\sqrt{x} + 3 = 0;$

В) $5x - 6\sqrt{x} + 1 = 0;$

Г) $2x + 3\sqrt{x} - 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x - 6\sqrt{x} + 5 = 0$

Данное уравнение решается методом введения новой переменной. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным.

Введем замену: пусть $t = \sqrt{x}$. Так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Получилось квадратное уравнение относительно переменной $t$. Его можно решить с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 5$

Оба корня, 1 и 5, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1) При $t = 1$, имеем $\sqrt{x} = 1$. Возводим обе части в квадрат: $x = 1^2 = 1$.

2) При $t = 5$, имеем $\sqrt{x} = 5$. Возводим обе части в квадрат: $x = 5^2 = 25$.

Оба найденных значения $x$ (1 и 25) удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $1; 25$.

б) $3x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$

ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.

Выполним замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Для решения найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни для $t$ по формуле:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Оба корня, $\frac{1}{3}$ и 3, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) При $t = \frac{1}{3}$, имеем $\sqrt{x} = \frac{1}{3}$, откуда $x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

2) При $t = 3$, имеем $\sqrt{x} = 3$, откуда $x = 3^2 = 9$.

Оба значения $x$ ($\frac{1}{9}$ и 9) входят в ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{9}; 9$.

в) $5x - 6\sqrt{x} + 1 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену: пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим в уравнение:

$5t^2 - 6t + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно заметить, что сумма коэффициентов $5 + (-6) + 1 = 0$. В этом случае один из корней равен 1, а второй равен $\frac{c}{a}$.

$t_1 = 1$

$t_2 = \frac{1}{5}$

Оба корня, 1 и $\frac{1}{5}$, положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) При $t = 1$, имеем $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1^2 = 1$.

2) При $t = \frac{1}{5}$, имеем $\sqrt{x} = \frac{1}{5}$, откуда $x = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.

Оба корня, 1 и $\frac{1}{25}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{25}; 1$.

г) $2x + 3\sqrt{x} - 2 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену: пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение примет вид:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $t_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня:

При $t = \frac{1}{2}$, имеем $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$, откуда $x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Найденное значение $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{4}$.