Номер 553, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 553, страница 160.

Условие.

553 Определите степень уравнения

$$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0.$$

Выведите формулы Виета для этого уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Определите степень уравнения $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$.

Степень уравнения — это наибольшая степень переменной в уравнении после того, как оно приведено к стандартному виду многочлена (т.е. после раскрытия всех скобок и приведения подобных слагаемых).

Чтобы определить степень данного уравнения, необходимо раскрыть скобки в его левой части:

$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$

Начнем с перемножения первых двух сомножителей:

$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x \cdot x_2 - x_1 \cdot x + x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.

Теперь умножим полученный двучлен на третий сомножитель $(x - x_3)$:

$(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)(x - x_3) = x \cdot (x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) - x_3 \cdot (x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

Раскроем скобки дальше:

$= x^3 - (x_1 + x_2)x^2 + x_1x_2x - x_3x^2 + (x_1 + x_2)x_3x - x_1x_2x_3$

Сгруппируем члены при одинаковых степенях переменной $x$:

$= x^3 + (- (x_1 + x_2) - x_3)x^2 + (x_1x_2 + (x_1 + x_2)x_3)x - x_1x_2x_3$

$= x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$

После преобразования левой части уравнения мы получили многочлен. Наивысшая степень переменной $x$ в этом многочлене равна 3. Следовательно, исходное уравнение является уравнением третьей степени.

Ответ: Степень уравнения равна 3.

Выведите формулы Виета для этого уравнения.

Формулы Виета устанавливают связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Для уравнения $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$ очевидно, что корнями являются $x_1$, $x_2$ и $x_3$.

В предыдущем пункте мы привели это уравнение к стандартному виду для кубического уравнения:

$x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3 = 0$

Это приведенное кубическое уравнение. Общий вид приведенного кубического уравнения записывается как $x^3 + p_1x^2 + p_2x + p_3 = 0$, где $p_1$, $p_2$, $p_3$ — коэффициенты.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в нашем уравнении и в общем виде, мы можем установить следующие соотношения:

• Коэффициент при $x^2$: $p_1 = -(x_1 + x_2 + x_3)$
• Коэффициент при $x$: $p_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
• Свободный член: $p_3 = -x_1x_2x_3$

Выражая из этих равенств суммы и произведения корней, мы получаем формулы Виета для данного уравнения:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -p_1$
2. Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p_2$
3. Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -p_3$

Эти три соотношения и являются формулами Виета для кубического уравнения.

Ответ: Формулы Виета для уравнения $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$, приведенного к виду $x^3 + p_1x^2 + p_2x + p_3 = 0$, имеют вид:

$x_1 + x_2 + x_3 = -p_1$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p_2$

$x_1x_2x_3 = -p_3$