Номер 546, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 546, страница 157.

Условие.

546 a) $x^4 - 5x^2 + 4;$

Б) $m^4 - 13m^2 + 36;$

В) $4x^4 - 32x^2;$

Г) $3x^4 - 75.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Данное выражение $x^4 - 5x^2 + 4$ является биквадратным трехчленом. Для его разложения на множители введем замену переменной.

Пусть $y = x^2$. Тогда исходное выражение примет вид квадратного трехчлена относительно переменной $y$:

$y^2 - 5y + 4$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $ay^2+by+c = a(y-y_1)(y-y_2)$:

$y^2 - 5y + 4 = (y - 1)(y - 4)$

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $x^2$ вместо $y$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Каждый из множителей в скобках является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

б) Это выражение $m^4 - 13m^2 + 36$ также является биквадратным трехчленом. Решим его методом замены переменной.

Пусть $y = m^2$. Тогда выражение преобразуется в квадратный трехчлен:

$y^2 - 13y + 36$

Найдем корни уравнения $y^2 - 13y + 36 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение равно 36. Корнями являются числа $y_1 = 4$ и $y_2 = 9$.

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$y^2 - 13y + 36 = (y - 4)(y - 9)$

Произведем обратную замену, подставив $m^2$ вместо $y$:

$(m^2 - 4)(m^2 - 9)$

Оба множителя представляют собой разность квадратов. Разложим их по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$m^2 - 4 = m^2 - 2^2 = (m - 2)(m + 2)$

$m^2 - 9 = m^2 - 3^2 = (m - 3)(m + 3)$

Окончательный вид разложения:

$(m - 2)(m + 2)(m - 3)(m + 3)$

Ответ: $(m - 2)(m + 2)(m - 3)(m + 3)$

в) Для разложения выражения $4x^4 - 32x^2$ на множители сначала вынесем за скобки общий множитель.

Общим множителем для членов $4x^4$ и $32x^2$ является $4x^2$.

$4x^4 - 32x^2 = 4x^2(x^2 - 8)$

Выражение в скобках $x^2 - 8$ можно рассматривать как разность квадратов $x^2 - (\sqrt{8})^2$. Однако, так как 8 не является квадратом рационального числа, то в рамках разложения на множители с целыми коэффициентами выражение $x^2 - 8$ является неразложимым. Поэтому оставляем результат в таком виде.

Ответ: $4x^2(x^2 - 8)$

г) Начнем разложение выражения $3x^4 - 75$ с вынесения общего множителя за скобки.

Общий множитель для $3x^4$ и $75$ это число 3.

$3x^4 - 75 = 3(x^4 - 25)$

Выражение в скобках $x^4 - 25$ является разностью квадратов, так как $x^4 = (x^2)^2$ и $25 = 5^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^4 - 25 = (x^2)^2 - 5^2 = (x^2 - 5)(x^2 + 5)$

Таким образом, получаем следующее разложение:

$3(x^2 - 5)(x^2 + 5)$

Многочлены $x^2 - 5$ и $x^2 + 5$ не имеют рациональных корней и не разлагаются на множители с целыми коэффициентами. Поэтому это окончательный вид разложения.

Ответ: $3(x^2 - 5)(x^2 + 5)$