Номер 550, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 550, страница 160.

Условие.

550 Найдите целые корни уравнения, если они есть:

а) $30x^2 - 23x - 2 = 0;$

б) $x^3 + 5x^2 - 17x - 21 = 0;$

в) $2x^3 - 5x^2 - 22x - 15 = 0;$

г) $3x^4 - 2x^2 + 3 = 0;$

д) $x^5 - 3x^4 - 5x^3 + 15x^2 + 4x - 12 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для квадратного уравнения $30x^2 - 23x - 2 = 0$ с целыми коэффициентами, его целые корни, если они существуют, должны быть делителями свободного члена, равного -2. Делителями числа -2 являются $\pm 1$ и $\pm 2$.

Проверим эти возможные корни подстановкой в уравнение:

• Если $x=1$, то $30(1)^2 - 23(1) - 2 = 30 - 23 - 2 = 5 \neq 0$.
• Если $x=-1$, то $30(-1)^2 - 23(-1) - 2 = 30 + 23 - 2 = 51 \neq 0$.
• Если $x=2$, то $30(2)^2 - 23(2) - 2 = 120 - 46 - 2 = 72 \neq 0$.
• Если $x=-2$, то $30(-2)^2 - 23(-2) - 2 = 120 + 46 - 2 = 164 \neq 0$.

Ни один из делителей не является корнем. Также можно найти дискриминант уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 30 \cdot (-2) = 529 + 240 = 769$. Так как корень из 769 не является целым числом, корни уравнения иррациональны, а значит, целых корней нет.

Ответ: целых корней нет.

б)

Для уравнения $x^3 + 5x^2 - 17x - 21 = 0$ целые корни, если они существуют, должны быть делителями свободного члена, равного -21. Делители числа -21: $\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение:

• При $x = -1$: $(-1)^3 + 5(-1)^2 - 17(-1) - 21 = -1 + 5 + 17 - 21 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем.
• При $x = 3$: $3^3 + 5(3)^2 - 17(3) - 21 = 27 + 45 - 51 - 21 = 72 - 72 = 0$. Значит, $x = 3$ является корнем.
• При $x = -7$: $(-7)^3 + 5(-7)^2 - 17(-7) - 21 = -343 + 5(49) + 119 - 21 = -343 + 245 + 119 - 21 = 0$. Значит, $x = -7$ является корнем.

Уравнение третьей степени не может иметь более трех корней. Мы нашли три целых корня, следовательно, это все корни уравнения.

Ответ: -7, -1, 3.

в)

Для уравнения $2x^3 - 5x^2 - 22x - 15 = 0$ целые корни, если они существуют, должны быть делителями свободного члена, равного -15. Делители числа -15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$.

Проверим эти значения:

• При $x = -1$: $2(-1)^3 - 5(-1)^2 - 22(-1) - 15 = -2 - 5 + 22 - 15 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем.
• При $x = 5$: $2(5)^3 - 5(5)^2 - 22(5) - 15 = 2(125) - 5(25) - 110 - 15 = 250 - 125 - 110 - 15 = 0$. Значит, $x = 5$ является корнем.

Поскольку $x = -1$ является корнем, можно разделить многочлен $2x^3 - 5x^2 - 22x - 15$ на двучлен $(x+1)$. В результате деления получим квадратный трехчлен $2x^2 - 7x - 15$.

Теперь решим уравнение $2x^2 - 7x - 15 = 0$. Мы уже знаем, что $x=5$ — один из его корней. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-15}{2}$. Тогда второй корень $x_2 = \frac{-15/2}{5} = -\frac{3}{2}$.

Корень $x_2 = -3/2$ не является целым числом. Таким образом, у исходного уравнения есть только два целых корня.

Ответ: -1, 5.

г)

Рассмотрим уравнение $3x^4 - 2x^2 + 3 = 0$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$. Так как $x$ — искомое целое число, то $y$ должно быть неотрицательным целым числом ($y \geq 0$).

Получаем квадратное уравнение относительно $y$: $3y^2 - 2y + 3 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Следовательно, не существует и действительных значений $x$, удовлетворяющих исходному уравнению. Значит, у уравнения нет и целых корней.

Ответ: целых корней нет.

д)

Рассмотрим уравнение $x^5 - 3x^4 - 5x^3 + 15x^2 + 4x - 12 = 0$. Разложим левую часть на множители методом группировки:

$x^4(x - 3) - 5x^2(x - 3) + 4(x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^4 - 5x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:

1. $x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$.

2. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \geq 0$):

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, корни которого по теореме Виета равны $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$. Оба корня положительные.

Возвращаемся к переменной $x$:

Из $x^2 = 1$ следует $x_{2,3} = \pm 1$.

Из $x^2 = 4$ следует $x_{4,5} = \pm 2$.

Таким образом, мы нашли пять корней, и все они являются целыми числами.

Ответ: -2, -1, 1, 2, 3.