Номер 544, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 3. Квадратные уравнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Упражнения - номер 544, страница 157.

Условие.

544 Сократите дробь:

a) $\frac{x^3 + 1}{3x^2 + 2x - 1}$;

б) $\frac{x^3 - 1}{2x^2 + x - 3}$;

В) $\frac{1 - x^2}{5x^2 - 4x - 1}$;

Г) $\frac{2x^2 - 7x + 3}{x - 2x^2}$;

Д) $\frac{5 + 3x - 2x^2}{1 - x - 2x^2}$;

е) $\frac{3x^2 - 4x - 4}{6 - x - x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)
Дана дробь $\frac{x^3 + 1}{3x^2 + 2x - 1}$.
Чтобы сократить дробь, нужно разложить на множители числитель и знаменатель.
Числитель $x^3 + 1$ — это сумма кубов. Используем формулу $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x+1)(x^2 - x + 1)$.
Знаменатель $3x^2 + 2x - 1$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$; $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Разложим трехчлен по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$3x^2 + 2x - 1 = 3(x - (-1))(x - \frac{1}{3}) = 3(x+1)(x - \frac{1}{3}) = (x+1)(3x-1)$.
Теперь подставим разложения в исходную дробь:
$\frac{x^3 + 1}{3x^2 + 2x - 1} = \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{(x+1)(3x - 1)}$.
Сокращаем общий множитель $(x+1)$:
$\frac{x^2 - x + 1}{3x - 1}$.
Ответ: $\frac{x^2 - x + 1}{3x - 1}$

б)
Дана дробь $\frac{x^3 - 1}{2x^2 + x - 3}$.
Разложим числитель $x^3 - 1$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x-1)(x^2 + x + 1)$.
Разложим на множители знаменатель $2x^2 + x - 3$, найдя корни уравнения $2x^2 + x - 3 = 0$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$; $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = 1$.
$2x^2 + x - 3 = 2(x-1)(x-(-\frac{3}{2})) = 2(x-1)(x+\frac{3}{2}) = (x-1)(2x+3)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(2x+3)}$.
Сократим на $(x-1)$:
$\frac{x^2 + x + 1}{2x+3}$.
Ответ: $\frac{x^2 + x + 1}{2x + 3}$

в)
Дана дробь $\frac{1 - x^2}{5x^2 - 4x - 1}$.
Разложим числитель $1 - x^2$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$1 - x^2 = (1-x)(1+x)$.
Разложим знаменатель $5x^2 - 4x - 1$. Корни уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.
$x_1 = \frac{4 - \sqrt{36}}{10} = \frac{4-6}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$; $x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$5x^2 - 4x - 1 = 5(x-1)(x-(-\frac{1}{5})) = 5(x-1)(x+\frac{1}{5}) = (x-1)(5x+1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(1-x)(1+x)}{(x-1)(5x+1)} = \frac{-(x-1)(x+1)}{(x-1)(5x+1)}$.
Сократим на $(x-1)$:
$\frac{-(x+1)}{5x+1} = -\frac{x+1}{5x+1}$.
Ответ: $-\frac{x+1}{5x+1}$

г)
Дана дробь $\frac{2x^2 - 7x + 3}{x - 2x^2}$.
Разложим числитель $2x^2 - 7x + 3$. Корни уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$2x^2 - 7x + 3 = 2(x-\frac{1}{2})(x-3) = (2x-1)(x-3)$.
Разложим знаменатель $x - 2x^2$:
$x - 2x^2 = x(1-2x) = -x(2x-1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(2x-1)(x-3)}{-x(2x-1)}$.
Сократим на $(2x-1)$:
$\frac{x-3}{-x} = -\frac{x-3}{x} = \frac{3-x}{x}$.
Ответ: $\frac{3-x}{x}$

д)
Дана дробь $\frac{5 + 3x - 2x^2}{1 - x - 2x^2}$.
Перепишем многочлены в стандартном виде: $\frac{-2x^2 + 3x + 5}{-2x^2 - x + 1}$.
Разложим числитель $-2x^2 + 3x + 5$. Корни уравнения $-2x^2 + 3x + 5 = 0$:
$D = 3^2 - 4(-2)(5) = 9 + 40 = 49$.
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{-4} = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2}$; $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$.
$-2x^2 + 3x + 5 = -2(x-\frac{5}{2})(x+1) = -(2x-5)(x+1) = (5-2x)(x+1)$.
Разложим знаменатель $-2x^2 - x + 1$. Корни уравнения $-2x^2 - x + 1 = 0$:
$D = (-1)^2 - 4(-2)(1) = 1 + 8 = 9$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$.
$-2x^2 - x + 1 = -2(x-\frac{1}{2})(x+1) = -(2x-1)(x+1) = (1-2x)(x+1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(5-2x)(x+1)}{(1-2x)(x+1)}$.
Сократим на $(x+1)$:
$\frac{5-2x}{1-2x}$.
Ответ: $\frac{5-2x}{1-2x}$

е)
Дана дробь $\frac{3x^2 - 4x - 4}{6 - x - x^2}$.
Перепишем знаменатель в стандартном виде: $\frac{3x^2 - 4x - 4}{-x^2 - x + 6}$.
Разложим числитель $3x^2 - 4x - 4$. Корни уравнения $3x^2 - 4x - 4 = 0$:
$D = (-4)^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64$.
$x_1 = \frac{4 - \sqrt{64}}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$; $x_2 = \frac{4 + \sqrt{64}}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$3x^2 - 4x - 4 = 3(x-2)(x+\frac{2}{3}) = (x-2)(3x+2)$.
Разложим знаменатель $-x^2 - x + 6$. Корни уравнения $-x^2 - x + 6 = 0$:
$D = (-1)^2 - 4(-1)(6) = 1 + 24 = 25$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$; $x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{-2} = \frac{6}{-2} = -3$.
$-x^2 - x + 6 = -(x-2)(x-(-3)) = -(x-2)(x+3)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(x-2)(3x+2)}{-(x-2)(x+3)}$.
Сократим на $(x-2)$:
$\frac{3x+2}{-(x+3)} = -\frac{3x+2}{x+3}$.
Ответ: $-\frac{3x+2}{x+3}$