Номер 538, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 3. Квадратные уравнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Упражнения - номер 538, страница 156.

Условие.

538 Сократите дробь:

a) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 5x}$;

б) $\frac{a^2 - 9}{a^2 + 8a + 15}$;

в) $\frac{y^2 - 7y + 12}{2y^2 - 8y}$;

г) $\frac{b^2 - 25}{b^2 - 8b + 15}$;

д) $\frac{m^2 - 2m - 8}{m^2 + 4m + 4}$;

е) $\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 5n + 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 5x}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 + 6x + 5$ — это квадратный трехчлен. Для его разложения на множители вида $a(x-x_1)(x-x_2)$ найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.
Следовательно, $x^2 + 6x + 5 = (x - (-1))(x - (-5)) = (x+1)(x+5)$.

В знаменателе $x^2 + 5x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 + 5x = x(x+5)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x+5)$:
$\frac{(x+1)(x+5)}{x(x+5)} = \frac{x+1}{x}$ (при условии, что $x \neq -5$).

Ответ: $\frac{x+1}{x}$

б) $\frac{a^2 - 9}{a^2 + 8a + 15}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $a^2 - 9$ — это разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$.

Знаменатель $a^2 + 8a + 15$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $a^2 + 8a + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $15$. Корни: $a_1 = -3$ и $a_2 = -5$.
Следовательно, $a^2 + 8a + 15 = (a - (-3))(a - (-5)) = (a+3)(a+5)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a+3)$:
$\frac{(a-3)(a+3)}{(a+3)(a+5)} = \frac{a-3}{a+5}$ (при условии, что $a \neq -3$).

Ответ: $\frac{a-3}{a+5}$

в) $\frac{y^2 - 7y + 12}{2y^2 - 8y}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $y^2 - 7y + 12$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $y^2 - 7y + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а их произведение равно $12$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = 4$.
Следовательно, $y^2 - 7y + 12 = (y-3)(y-4)$.

В знаменателе $2y^2 - 8y$ вынесем общий множитель $2y$ за скобки: $2y^2 - 8y = 2y(y-4)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(y-4)$:
$\frac{(y-3)(y-4)}{2y(y-4)} = \frac{y-3}{2y}$ (при условии, что $y \neq 4$).

Ответ: $\frac{y-3}{2y}$

г) $\frac{b^2 - 25}{b^2 - 8b + 15}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $b^2 - 25$ — это разность квадратов: $b^2 - 25 = b^2 - 5^2 = (b-5)(b+5)$.

Знаменатель $b^2 - 8b + 15$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $b^2 - 8b + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а их произведение равно $15$. Корни: $b_1 = 3$ и $b_2 = 5$.
Следовательно, $b^2 - 8b + 15 = (b-3)(b-5)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(b-5)$:
$\frac{(b-5)(b+5)}{(b-3)(b-5)} = \frac{b+5}{b-3}$ (при условии, что $b \neq 5$).

Ответ: $\frac{b+5}{b-3}$

д) $\frac{m^2 - 2m - 8}{m^2 + 4m + 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $m^2 - 2m - 8$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $m^2 - 2m - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-8$. Корни: $m_1 = 4$ и $m_2 = -2$.
Следовательно, $m^2 - 2m - 8 = (m-4)(m-(-2)) = (m-4)(m+2)$.

Знаменатель $m^2 + 4m + 4$ — это полный квадрат суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$m^2 + 4m + 4 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = (m+2)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(m+2)$:
$\frac{(m-4)(m+2)}{(m+2)^2} = \frac{m-4}{m+2}$ (при условии, что $m \neq -2$).

Ответ: $\frac{m-4}{m+2}$

е) $\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 5n + 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $n^2 + 2n + 1$ — это полный квадрат суммы: $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$.

Знаменатель $n^2 + 5n + 4$ — это квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения $n^2 + 5n + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $4$. Корни: $n_1 = -1$ и $n_2 = -4$.
Следовательно, $n^2 + 5n + 4 = (n-(-1))(n-(-4)) = (n+1)(n+4)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(n+1)$:
$\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+4)} = \frac{n+1}{n+4}$ (при условии, что $n \neq -1$).

Ответ: $\frac{n+1}{n+4}$