Номер 533, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 533, страница 155.

Условие.

Разложите на множители (533—535).

533 а) $m^2 + 3m - 18;$

б) $b^2 + 9b + 8;$

в) $d^2 + 11d + 18;$

г) $a^2 + a - 6;$

д) $n^2 - 4n - 60;$

е) $x^2 - 23x + 60.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $m^2 + 3m - 18$, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $m^2 + 3m - 18 = 0$. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ разложение на множители имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Найдем корни с помощью теоремы Виета:

• Сумма корней: $m_1 + m_2 = -3$
• Произведение корней: $m_1 \cdot m_2 = -18$

Подбором находим, что корни равны $m_1 = 3$ и $m_2 = -6$. Действительно, $3 + (-6) = -3$ и $3 \cdot (-6) = -18$. Следовательно, разложение на множители будет: $m^2 + 3m - 18 = (m - 3)(m - (-6)) = (m - 3)(m + 6)$.
Ответ: $(m - 3)(m + 6)$.

б) Для разложения на множители трехчлена $b^2 + 9b + 8$ решим уравнение $b^2 + 9b + 8 = 0$. По теореме Виета:

• $b_1 + b_2 = -9$
• $b_1 \cdot b_2 = 8$

Методом подбора находим корни: $b_1 = -1$ и $b_2 = -8$. Проверка: $(-1) + (-8) = -9$ и $(-1) \cdot (-8) = 8$. Следовательно, разложение имеет вид: $b^2 + 9b + 8 = (b - (-1))(b - (-8)) = (b + 1)(b + 8)$.
Ответ: $(b + 1)(b + 8)$.

в) Разложим на множители $d^2 + 11d + 18$. Для этого найдем корни уравнения $d^2 + 11d + 18 = 0$. По теореме Виета:

• $d_1 + d_2 = -11$
• $d_1 \cdot d_2 = 18$

Подбираем корни: $d_1 = -2$ и $d_2 = -9$. Проверка: $(-2) + (-9) = -11$ и $(-2) \cdot (-9) = 18$. Таким образом, разложение на множители: $d^2 + 11d + 18 = (d - (-2))(d - (-9)) = (d + 2)(d + 9)$.
Ответ: $(d + 2)(d + 9)$.

г) Чтобы разложить на множители $a^2 + a - 6$, решим квадратное уравнение $a^2 + a - 6 = 0$. По теореме Виета:

• $a_1 + a_2 = -1$
• $a_1 \cdot a_2 = -6$

Подбором находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = -3$. Проверка: $2 + (-3) = -1$ и $2 \cdot (-3) = -6$. Разложение на множители: $a^2 + a - 6 = (a - 2)(a - (-3)) = (a - 2)(a + 3)$.
Ответ: $(a - 2)(a + 3)$.

д) Разложим на множители $n^2 - 4n - 60$, найдя корни уравнения $n^2 - 4n - 60 = 0$. Решим уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$. Корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$. $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$. Используя формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем: $n^2 - 4n - 60 = (n - 10)(n - (-6)) = (n - 10)(n + 6)$.
Ответ: $(n - 10)(n + 6)$.

е) Разложим на множители $x^2 - 23x + 60$. Для этого решим уравнение $x^2 - 23x + 60 = 0$. По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = 23$
• $x_1 \cdot x_2 = 60$

Подбором находим корни. Множители числа 60, которые в сумме дают 23, это 3 и 20. Значит, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 20$. Разложение на множители: $x^2 - 23x + 60 = (x - 3)(x - 20)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 20)$.