Номер 537, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 537, страница 156.

Условие.

537 Покажите, что квадратные трёхчлены $x^2 + 2x - 3$, $2x^2 + 4x - 6$, $-5x^2 - 10x + 15$ имеют одни и те же корни. Разложите эти квадратные трёхчлены на множители.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно показать, что у данных квадратных трёхчленов одни и те же корни, а затем разложить их на множители.

Часть 1: Доказательство равенства корней

Чтобы доказать, что у всех трёхчленов одинаковые корни, найдём корни одного из них, а затем покажем, что остальные трёхчлены пропорциональны ему.

Найдём корни первого трёхчлена $x^2 + 2x - 3$. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Теперь найдём корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.
Таким образом, корни трёхчлена $x^2 + 2x - 3$ равны $1$ и $-3$.

Теперь рассмотрим два других трёхчлена.
Для трёхчлена $2x^2 + 4x - 6$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(x^2 + 2x - 3)$.
Для трёхчлена $-5x^2 - 10x + 15$ вынесем общий множитель -5 за скобки: $-5(x^2 + 2x - 3)$.
Корни уравнения $k \cdot f(x) = 0$ (где $k \neq 0$) совпадают с корнями уравнения $f(x) = 0$. Поскольку оба трёхчлена являются произведением трёхчлена $x^2 + 2x - 3$ на константу, их корни будут такими же.
Следовательно, все три трёхчлена имеют одни и те же корни: $1$ и $-3$.

Часть 2: Разложение на множители

Для разложения квадратного трёхчлена на множители воспользуемся формулой $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни трёхчлена.

$x^2 + 2x - 3$
Коэффициент $a=1$, корни $x_1=1$ и $x_2=-3$.
$x^2 + 2x - 3 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-3)) = (x - 1)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 3)$.

$2x^2 + 4x - 6$
Коэффициент $a=2$, корни $x_1=1$ и $x_2=-3$.
$2x^2 + 4x - 6 = 2(x - 1)(x - (-3)) = 2(x - 1)(x + 3)$.
Ответ: $2(x - 1)(x + 3)$.

$-5x^2 - 10x + 15$
Коэффициент $a=-5$, корни $x_1=1$ и $x_2=-3$.
$-5x^2 - 10x + 15 = -5(x - 1)(x - (-3)) = -5(x - 1)(x + 3)$.
Ответ: $-5(x - 1)(x + 3)$.