Номер 4, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 3.7. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 4, страница 155.

Условие.

Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители. Запишите формулу разложения на множители для квадратного трёхчлена вида $x^2 + px + q$. Разложите на множители трёхчлен $5x^2 + 3x - 2$.

Решение 3.

Решение 4.

Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни $x_1$ и $x_2$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни вычисляются с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Если $D \ge 0$, уравнение имеет действительные корни, которые находятся по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Формула разложения квадратного трёхчлена на множители имеет вид:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Если $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Запишите формулу разложения на множители для квадратного трёхчлена вида $x^2 + px + q$.

Квадратный трёхчлен вида $x^2 + px + q$ является приведённым, так как его старший коэффициент равен 1. Это частный случай общей формулы, где $a=1$, $b=p$, $c=q$.

Формула разложения для такого трёхчлена выглядит следующим образом:

$x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$

Здесь $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. Их можно найти не только через дискриминант, но и по теореме Виета, если они целые: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.

Ответ: $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Разложите на множители трёхчлен $5x^2 + 3x - 2$.

Для разложения трёхчлена $5x^2 + 3x - 2$ воспользуемся общей формулой $a(x - x_1)(x - x_2)$. В данном случае коэффициенты равны $a=5$, $b=3$, $c=-2$.

1. Найдём корни уравнения $5x^2 + 3x - 2 = 0$.

2. Рассчитаем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.

3. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле корней квадратного уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.

4. Подставим значения коэффициента $a$ и корней $x_1$, $x_2$ в формулу разложения:

$5x^2 + 3x - 2 = 5(x - \frac{2}{5})(x - (-1)) = 5(x - \frac{2}{5})(x + 1)$.

Чтобы избавиться от дроби, внесём множитель 5 в первую скобку:

$5(x - \frac{2}{5}) = 5x - 5 \cdot \frac{2}{5} = 5x - 2$.

В итоге получаем разложение: $(5x - 2)(x + 1)$.

Ответ: $5x^2 + 3x - 2 = (5x - 2)(x + 1)$.