Номер 529, страница 152 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 529, страница 152.

Условие.

529 Уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Выразите че- рез коэффициенты $p$ и $q$:

a) $x_1^2 + x_2^2$;

б) $x_1^3 + x_2^3$;

в) $x_1^4 + x_2^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи мы будем использовать теорему Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, для корней уравнения $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

Цель состоит в том, чтобы выразить требуемые выражения через элементарные симметрические многочлены $(x_1 + x_2)$ и $(x_1 x_2)$, а затем подставить вместо них $-p$ и $q$.

а) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы выразить сумму квадратов корней, воспользуемся известным тождеством, которое получается из формулы квадрата суммы $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим из него искомую сумму:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим значения из теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2(q) = p^2 - 2q$

Ответ: $p^2 - 2q$.

б) $x_1^3 + x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней можно использовать формулу суммы кубов или тождество, вытекающее из формулы куба суммы $(x_1 + x_2)^3$. Воспользуемся вторым способом.

$(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3 = (x_1^3 + x_2^3) + 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Выразим из этого тождества сумму кубов:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим значения $-p$ и $q$:

$x_1^3 + x_2^3 = (-p)^3 - 3(q)(-p) = -p^3 + 3pq$

Ответ: $-p^3 + 3pq$.

в) $x_1^4 + x_2^4$

Сумму четвертых степеней можно рассматривать как сумму квадратов вторых степеней: $x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2)^2 + (x_2^2)^2$.

Применим тождество для суммы квадратов, аналогичное пункту а), но для выражений $x_1^2$ и $x_2^2$:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1^2x_2^2) = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Из пункта а) мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q$. Подставим это выражение, а также значение $x_1x_2 = q$:

$x_1^4 + x_2^4 = (p^2 - 2q)^2 - 2(q)^2$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(p^2 - 2q)^2 - 2q^2 = (p^4 - 4p^2q + 4q^2) - 2q^2 = p^4 - 4p^2q + 2q^2$

Ответ: $p^4 - 4p^2q + 2q^2$.