Номер 527, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 527, страница 151.

Условие.

527 Составьте квадратное уравнение, корни которого:

а) на 2 меньше корней уравнения $x^2 - 187x + 148 = 0$;

б) на 3 больше корней уравнения $x^2 + 191x - 1250 = 0$.

Образец. а) Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое надо составить. Тогда

$y_1 = x_1 - 2, y_2 = x_2 - 2$;

$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) - 4,$

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1 \cdot x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4.$

Доведите решение до конца.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Доведем до конца решение, начатое в образце.Дано уравнение $x^2 - 187x + 148 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-187) = 187$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 148$.

Нужно составить новое квадратное уравнение, корни которого $y_1$ и $y_2$ на 2 меньше корней исходного уравнения, то есть $y_1 = x_1 - 2$ и $y_2 = x_2 - 2$.

Для составления нового уравнения $y^2 + py + q = 0$ найдем сумму его корней $y_1+y_2 = -p$ и произведение $y_1y_2 = q$.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 - 2) + (x_2 - 2) = (x_1 + x_2) - 4 = 187 - 4 = 183$.

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = 148 - 2(187) + 4 = 148 - 374 + 4 = -222$.

Следовательно, искомое уравнение имеет вид $y^2 - (183)y + (-222) = 0$. Запишем его с переменной $x$:

$x^2 - 183x - 222 = 0$.

Ответ: $x^2 - 183x - 222 = 0$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 191x - 1250 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -191$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -1250$.

Нужно составить новое квадратное уравнение, корни которого $y_1$ и $y_2$ на 3 больше корней исходного уравнения, то есть $y_1 = x_1 + 3$ и $y_2 = x_2 + 3$.

Найдем сумму и произведение новых корней.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6 = -191 + 6 = -185$.

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9 = -1250 + 3(-191) + 9 = -1250 - 573 + 9 = -1814$.

Искомое уравнение имеет вид $y^2 - (-185)y + (-1814) = 0$. Запишем его с переменной $x$:

$x^2 + 185x - 1814 = 0$.

Ответ: $x^2 + 185x - 1814 = 0$.