Номер 521, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 521, страница 150.

Условие.

521 АНАЛИЗИРУЕМ Определите, имеет ли уравнение корни. Если имеет, то ответьте на следующие вопросы: 1) Сколько корней имеет уравнение? 2) Рациональными или иррациональными являются его корни? 3) Каковы знаки корней? 4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?

а) $3x^2 + 7x + 2 = 0$;

б) $3y^2 - 8y + 2 = 0$;

в) $4x^2 - 11x - 3 = 0$;

г) $-8z^2 - 2z + 3 = 0$;

д) $5x^2 - 3x + 1 = 0$;

е) $-6z^2 + 11z - 3 = 0$;

ж) $-2y^2 + 4y - 3 = 0$;

з) $2x^2 - 10x - 5 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для анализа каждого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ мы будем использовать следующие шаги:

1. Определим наличие и количество корней с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Если $D < 0$, действительных корней нет.
2. Выясним, являются ли корни рациональными или иррациональными. Если $D \ge 0$ и является полным квадратом целого числа, то корни рациональные. В противном случае — иррациональные.
3. Определим знаки корней с помощью теоремы Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, а сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$. Если $\frac{c}{a} > 0$, корни имеют одинаковые знаки (оба положительные, если $-\frac{b}{a} > 0$, и оба отрицательные, если $-\frac{b}{a} < 0$). Если $\frac{c}{a} < 0$, корни имеют разные знаки.
4. Если корни имеют разные знаки, сравним их модули по знаку их суммы $-\frac{b}{a}$. Если $-\frac{b}{a} > 0$, то положительный корень имеет больший модуль. Если $-\frac{b}{a} < 0$, то отрицательный корень имеет больший модуль.

а) $3x^2 + 7x + 2 = 0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=7$, $c=2$.

1) Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=25=5^2$, значит, корни рациональные.

3) Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3} > 0$, значит, корни имеют одинаковые знаки. Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{3} < 0$, значит, оба корня отрицательные.

4) Вопрос неприменим, так как корни одного знака.

Ответ: уравнение имеет два рациональных корня, оба отрицательные.

б) $3y^2 - 8y + 2 = 0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=2$.

1) Дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 64 - 24 = 40$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=40$, не является полным квадратом, значит, корни иррациональные.

3) Произведение корней $y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3} > 0$, значит, корни имеют одинаковые знаки. Сумма корней $y_1 + y_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-8}{3}) = \frac{8}{3} > 0$, значит, оба корня положительные.

4) Вопрос неприменим.

Ответ: уравнение имеет два иррациональных корня, оба положительные.

в) $4x^2 - 11x - 3 = 0$

Коэффициенты: $a=4$, $b=-11$, $c=-3$.

1) Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=169=13^2$, значит, корни рациональные.

3) Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{4} < 0$, значит, корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

4) Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-11}{4}) = \frac{11}{4} > 0$. Так как сумма положительна, положительный корень имеет больший модуль.

Ответ: уравнение имеет два рациональных корня разных знаков; положительный корень имеет больший модуль.

г) $-8z^2 - 2z + 3 = 0$

Коэффициенты: $a=-8$, $b=-2$, $c=3$.

1) Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot (-8) \cdot 3 = 4 + 96 = 100$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=100=10^2$, значит, корни рациональные.

3) Произведение корней $z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{-8} < 0$, значит, корни имеют разные знаки.

4) Сумма корней $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-2}{-8}) = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} < 0$. Так как сумма отрицательна, отрицательный корень имеет больший модуль.

Ответ: уравнение имеет два рациональных корня разных знаков; отрицательный корень имеет больший модуль.

д) $5x^2 - 3x + 1 = 0$

Коэффициенты: $a=5$, $b=-3$, $c=1$.

1) Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

е) $-6z^2 + 11z - 3 = 0$

Коэффициенты: $a=-6$, $b=11$, $c=-3$.

1) Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-3) = 121 - 72 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=49=7^2$, значит, корни рациональные.

3) Произведение корней $z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} > 0$, значит, корни имеют одинаковые знаки. Сумма корней $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{11}{-6}) = \frac{11}{6} > 0$, значит, оба корня положительные.

4) Вопрос неприменим.

Ответ: уравнение имеет два рациональных корня, оба положительные.

ж) $-2y^2 + 4y - 3 = 0$

Коэффициенты: $a=-2$, $b=4$, $c=-3$.

1) Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 16 - 24 = -8$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

з) $2x^2 - 10x - 5 = 0$

Коэффициенты: $a=2$, $b=-10$, $c=-5$.

1) Дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 100 + 40 = 140$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $D=140$, не является полным квадратом, значит, корни иррациональные.

3) Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2} < 0$, значит, корни имеют разные знаки.

4) Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(\frac{-10}{2}) = 5 > 0$. Так как сумма положительна, положительный корень имеет больший модуль.

Ответ: уравнение имеет два иррациональных корня разных знаков; положительный корень имеет больший модуль.