Номер 517, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 517, страница 149.

Условие.

РАССУЖДАЕМ Решите квадратное уравнение подбором корней (517–519).

517 a) $y^2 + 9y + 20 = 0$;

б) $x^2 - 11x + 24 = 0$;

в) $t^2 - 9t + 8 = 0$;

г) $z^2 + 12z + 20 = 0$;

д) $x^2 + 13x + 30 = 0$;

е) $y^2 - 17y + 30 = 0$;

ж) $t^2 + 12t + 32 = 0$;

з) $u^2 - 15u + 50 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данных квадратных уравнений вида $x^2+px+q=0$ воспользуемся теоремой Виета, согласно которой сумма корней уравнения ($x_1+x_2$) равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($-p$), а произведение корней ($x_1 \cdot x_2$) равно свободному члену ($q$).

а)

Дано уравнение $y^2 + 9y + 20 = 0$.

Согласно теореме Виета, для корней $y_1$ и $y_2$ должны выполняться условия:

$y_1 + y_2 = -9$

$y_1 \cdot y_2 = 20$

Поскольку произведение корней является положительным числом ($20$), а их сумма — отрицательным ($-9$), оба корня должны быть отрицательными. Начнем подбор с разложения числа $20$ на множители: $20 = 4 \cdot 5$. Если взять числа с отрицательными знаками, получим: $-4$ и $-5$.

Проверим их сумму: $-4 + (-5) = -9$.

Проверим их произведение: $(-4) \cdot (-5) = 20$.

Оба условия выполняются, следовательно, корни найдены верно.

Ответ: $y_1 = -4$, $y_2 = -5$.

б)

Дано уравнение $x^2 - 11x + 24 = 0$.

По теореме Виета для корней $x_1$ и $x_2$ имеем:

$x_1 + x_2 = -(-11) = 11$

$x_1 \cdot x_2 = 24$

Так как и произведение ($24$), и сумма ($11$) корней положительны, оба корня должны быть положительными. Разложим $24$ на множители и проверим их сумму: $24 = 3 \cdot 8$.

Проверим сумму: $3 + 8 = 11$.

Условия выполняются.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 8$.

в)

Дано уравнение $t^2 - 9t + 8 = 0$.

По теореме Виета для корней $t_1$ и $t_2$ имеем:

$t_1 + t_2 = -(-9) = 9$

$t_1 \cdot t_2 = 8$

Сумма и произведение корней положительны, значит, оба корня положительны. Разложим $8$ на множители: $8 = 1 \cdot 8$.

Проверим сумму: $1 + 8 = 9$.

Условия выполняются.

Ответ: $t_1 = 1$, $t_2 = 8$.

г)

Дано уравнение $z^2 + 12z + 20 = 0$.

По теореме Виета для корней $z_1$ и $z_2$ имеем:

$z_1 + z_2 = -12$

$z_1 \cdot z_2 = 20$

Произведение корней положительно, а сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны. Разложим $20$ на отрицательные множители: $20 = (-2) \cdot (-10)$.

Проверим сумму: $-2 + (-10) = -12$.

Условия выполняются.

Ответ: $z_1 = -2$, $z_2 = -10$.

д)

Дано уравнение $x^2 + 13x + 30 = 0$.

По теореме Виета для корней $x_1$ и $x_2$ имеем:

$x_1 + x_2 = -13$

$x_1 \cdot x_2 = 30$

Произведение корней положительно, а сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны. Разложим $30$ на отрицательные множители: $30 = (-3) \cdot (-10)$.

Проверим сумму: $-3 + (-10) = -13$.

Условия выполняются.

Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = -10$.

е)

Дано уравнение $y^2 - 17y + 30 = 0$.

По теореме Виета для корней $y_1$ и $y_2$ имеем:

$y_1 + y_2 = -(-17) = 17$

$y_1 \cdot y_2 = 30$

Сумма и произведение корней положительны, значит, оба корня положительны. Разложим $30$ на множители: $30 = 2 \cdot 15$.

Проверим сумму: $2 + 15 = 17$.

Условия выполняются.

Ответ: $y_1 = 2$, $y_2 = 15$.

ж)

Дано уравнение $t^2 + 12t + 32 = 0$.

По теореме Виета для корней $t_1$ и $t_2$ имеем:

$t_1 + t_2 = -12$

$t_1 \cdot t_2 = 32$

Произведение корней положительно, а сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны. Разложим $32$ на отрицательные множители: $32 = (-4) \cdot (-8)$.

Проверим сумму: $-4 + (-8) = -12$.

Условия выполняются.

Ответ: $t_1 = -4$, $t_2 = -8$.

з)

Дано уравнение $u^2 - 15u + 50 = 0$.

По теореме Виета для корней $u_1$ и $u_2$ имеем:

$u_1 + u_2 = -(-15) = 15$

$u_1 \cdot u_2 = 50$

Сумма и произведение корней положительны, значит, оба корня положительны. Разложим $50$ на множители: $50 = 5 \cdot 10$.

Проверим сумму: $5 + 10 = 15$.

Условия выполняются.

Ответ: $u_1 = 5$, $u_2 = 10$.