Номер 520, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 520, страница 150.

Условие.

520 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Для составления квадратного уравнения, имеющего корни 8 и 7, можно применить два способа:

1) составить произведение $(x - 8)(x - 7) = 0$, откуда получаем уравнение $x^2 - 15x + 56 = 0$;

2) использовать формулы Виета: $x^2 - (8 + 7)x + 8 \cdot 7 = 0$, откуда получаем то же уравнение $x^2 - 15x + 56 = 0$.

Составьте двумя способами квадратное уравнение, имеющее корни:

a) 11 и 4;

б) -4 и -5;

в) -10 и 2;

г) -1 и 15.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) 11 и 4;

1-й способ (через разложение на множители):

Если квадратное уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то его можно представить в виде $(x - x_1)(x - x_2) = 0$. Подставим данные корни $x_1 = 11$ и $x_2 = 4$ в эту формулу:

$(x - 11)(x - 4) = 0$

Теперь раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - 4x - 11x + 44 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 15x + 44 = 0$

2-й способ (по теореме Виета):

Согласно теореме, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$. Таким образом, уравнение можно записать как $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

Найдем сумму и произведение корней $x_1=11$ и $x_2=4$:

Сумма: $x_1 + x_2 = 11 + 4 = 15$

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 11 \cdot 4 = 44$

Подставим эти значения в формулу:

$x^2 - (15)x + 44 = 0$

$x^2 - 15x + 44 = 0$

Ответ: $x^2 - 15x + 44 = 0$

б) -4 и -5;

1-й способ (через разложение на множители):

Подставим корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -5$ в формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:

$(x - (-4))(x - (-5)) = 0$

$(x + 4)(x + 5) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 + 5x + 4x + 20 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 9x + 20 = 0$

2-й способ (по теореме Виета):

Найдем сумму и произведение корней $x_1 = -4$ и $x_2 = -5$:

Сумма: $x_1 + x_2 = -4 + (-5) = -9$

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot (-5) = 20$

Подставим в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (-9)x + 20 = 0$

$x^2 + 9x + 20 = 0$

Ответ: $x^2 + 9x + 20 = 0$

в) -10 и 2;

1-й способ (через разложение на множители):

Подставим корни $x_1 = -10$ и $x_2 = 2$ в формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:

$(x - (-10))(x - 2) = 0$

$(x + 10)(x - 2) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2x + 10x - 20 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 8x - 20 = 0$

2-й способ (по теореме Виета):

Найдем сумму и произведение корней $x_1 = -10$ и $x_2 = 2$:

Сумма: $x_1 + x_2 = -10 + 2 = -8$

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = -10 \cdot 2 = -20$

Подставим в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (-8)x + (-20) = 0$

$x^2 + 8x - 20 = 0$

Ответ: $x^2 + 8x - 20 = 0$

г) -1 и 15.

1-й способ (через разложение на множители):

Подставим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 15$ в формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$:

$(x - (-1))(x - 15) = 0$

$(x + 1)(x - 15) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - 15x + x - 15 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 14x - 15 = 0$

2-й способ (по теореме Виета):

Найдем сумму и произведение корней $x_1 = -1$ и $x_2 = 15$:

Сумма: $x_1 + x_2 = -1 + 15 = 14$

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = -1 \cdot 15 = -15$

Подставим в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (14)x + (-15) = 0$

$x^2 - 14x - 15 = 0$

Ответ: $x^2 - 14x - 15 = 0$