Номер 515, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 515, страница 149.

Условие.

515 Все данные уравнения имеют корни. В каждом случае объясните, почему уравнение имеет корни разных знаков. Определите, какой из корней больше по модулю — положительный или отрицательный:

а) $x^2 + 5x - 6 = 0$;

б) $x^2 - 5x - 6 = 0$;

в) $x^2 + 4x - 21 = 0$;

г) $x^2 - 4x - 21 = 0$;

д) $x^2 - 2x - 3 = 0$;

е) $x^2 + 2x - 3 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для анализа корней приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения: $x_1 + x_2 = -p$ (сумма корней) и $x_1 \cdot x_2 = q$ (произведение корней).

Уравнение имеет корни разных знаков (один положительный, другой отрицательный), если их произведение отрицательно, то есть $x_1 \cdot x_2 < 0$. Из теоремы Виета следует, что это условие выполняется, когда свободный член $q < 0$. Во всех представленных уравнениях свободный член отрицателен, поэтому все они имеют корни разных знаков.

Чтобы определить, какой из корней больше по модулю, рассмотрим знак их суммы $x_1 + x_2 = -p$.
- Если сумма корней $x_1 + x_2$ положительна (т.е. $-p > 0$ или $p < 0$), то положительный корень имеет больший модуль (например, 5 и -2).
- Если сумма корней $x_1 + x_2$ отрицательна (т.е. $-p < 0$ или $p > 0$), то отрицательный корень имеет больший модуль (например, -5 и 2).

а) $x^2 + 5x - 6 = 0$

Свободный член $q = -6$. Так как $q < 0$, корни уравнения имеют разные знаки. Коэффициент $p = 5$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -5$. Поскольку сумма корней отрицательна, то отрицательный корень больше по модулю.
Ответ: Отрицательный корень больше по модулю.

б) $x^2 - 5x - 6 = 0$

Свободный член $q = -6 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки. Коэффициент $p = -5$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$. Поскольку сумма корней положительна, то положительный корень больше по модулю.
Ответ: Положительный корень больше по модулю.

в) $x^2 + 4x - 21 = 0$

Свободный член $q = -21 < 0$, значит, корни имеют разные знаки. Коэффициент $p = 4$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -4$. Так как сумма корней отрицательна, отрицательный корень больше по модулю.
Ответ: Отрицательный корень больше по модулю.

г) $x^2 - 4x - 21 = 0$

Свободный член $q = -21 < 0$, значит, корни имеют разные знаки. Коэффициент $p = -4$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-4) = 4$. Так как сумма корней положительна, положительный корень больше по модулю.
Ответ: Положительный корень больше по модулю.

д) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Свободный член $q = -3 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки. Коэффициент $p = -2$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-2) = 2$. Поскольку сумма корней положительна, положительный корень больше по модулю.
Ответ: Положительный корень больше по модулю.

е) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Свободный член $q = -3 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки. Коэффициент $p = 2$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -2$. Поскольку сумма корней отрицательна, отрицательный корень больше по модулю.
Ответ: Отрицательный корень больше по модулю.