Страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Как, используя формулы Виета, найти сумму и произведение корней неприведённого квадратного уравнения? Запишите соответствующие формулы (фрагмент 1). Убедитесь, что уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$ имеет корни, и найдите их сумму и произведение.

Как, используя формулы Виета, найти сумму и произведение корней неприведенного квадратного уравнения? Запишите соответствующие формулы (фрагмент 1).

Для общего (не приведенного) квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$, и $x_1$, $x_2$ — его корни, используются следующие формулы Виета:
1. Сумма корней ($x_1 + x_2$) равна отношению второго коэффициента ($b$) к первому ($a$), взятому с противоположным знаком.
Формула суммы корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
2. Произведение корней ($x_1 \cdot x_2$) равно отношению свободного члена ($c$) к первому коэффициенту ($a$).
Формула произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
Эти формулы справедливы только в том случае, если уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

Ответ: Сумма корней вычисляется по формуле $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней — по формуле $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Убедитесь, что уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$ имеет корни, и найдите их сумму и произведение.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.

1. Проверка наличия корней.
Чтобы определить, имеет ли уравнение действительные корни, необходимо вычислить его дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$. Уравнение имеет корни, если $D \ge 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Нахождение суммы и произведения корней по формулам Виета.
Теперь, когда мы убедились, что корни существуют, мы можем применить формулы Виета для не приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$
Произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: Дискриминант уравнения равен $25$, что подтверждает наличие корней. Сумма корней равна $3.5$, произведение корней равно $1.5$.

Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета (фрагмент 2). Найдите подбором корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту $p$ приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену $q$, то эти числа являются корнями данного уравнения.

Иными словами, если для чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства:

$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

то $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Ответ: Если для чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются условия $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то они являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Найдите подбором корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$

Данное уравнение является приведённым квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициенты $p=2$ и $q=-15$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, мы ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются два условия:

1. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p = -2$.

2. Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q = -15$.

Начнем подбор с анализа второго условия. Нам нужно найти пары целых чисел, произведение которых равно $-15$. Так как произведение отрицательное, числа должны иметь разные знаки.

• Пара $1$ и $-15$. Проверим их сумму: $1 + (-15) = -14$. Не соответствует условию $x_1 + x_2 = -2$.
• Пара $-1$ и $15$. Проверим их сумму: $-1 + 15 = 14$. Не соответствует условию.
• Пара $3$ и $-5$. Проверим их сумму: $3 + (-5) = -2$. Это значение соответствует условию $x_1 + x_2 = -2$.
• Пара $-3$ и $5$. Проверим их сумму: $-3 + 5 = 2$. Не соответствует условию.

Таким образом, числа $3$ и $-5$ удовлетворяют обоим условиям. Следовательно, они являются корнями данного уравнения.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -5$.

513 Не решая уравнения, укажите, имеет ли оно корни и чему равны произведение и сумма его корней:

а) $x^2 - 14x + 40 = 0$;

г) $2x^2 - 5x - 3 = 0$;

б) $x^2 + 16x + 15 = 0$;

д) $4x^2 + 16x + 15 = 0$;

в) $x^2 - 2x - 1 = 0$;

е) $3x^2 + 11x - 4 = 0$.

Чтобы определить, имеет ли квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ корни, не решая его, нужно вычислить дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни. Если $D < 0$, то действительных корней нет. Если корни существуют, их сумму и произведение можно найти с помощью теоремы Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

а) Для уравнения $x^2 - 14x + 40 = 0$, определим сначала, есть ли у него корни. Для этого вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-14, c=40$. $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Теперь, используя теорему Виета, найдем их сумму и произведение. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-14)/1 = 14$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 40/1 = 40$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна 14, произведение — 40.

б) Для уравнения $x^2 + 16x + 15 = 0$ (где $a=1, b=16, c=15$), вычислим дискриминант: $D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a = -16/1 = -16$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = 15/1 = 15$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна -16, произведение — 15.

в) Для уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ (где $a=1, b=-2, c=-1$), дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Сумма корней по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-2)/1 = 2$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -1/1 = -1$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна 2, произведение — -1.

г) Для уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$ (где $a=2, b=-5, c=-3$), дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Сумма корней по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-5)/2 = 5/2$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -3/2$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна $5/2$ (или 2,5), произведение — $-3/2$ (или -1,5).

д) Для уравнения $4x^2 + 16x + 15 = 0$ (где $a=4, b=16, c=15$), дискриминант $D = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Сумма корней по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b/a = -16/4 = -4$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 15/4$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна -4, произведение — $15/4$ (или 3,75).

е) Для уравнения $3x^2 + 11x - 4 = 0$ (где $a=3, b=11, c=-4$), дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Сумма корней по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b/a = -11/3$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -4/3$.
Ответ: уравнение имеет корни; сумма корней равна $-11/3$, произведение — $-4/3$.

АНАЛИЗИРУЕМ (514–515)

514 Все данные уравнения имеют корни. В каждом случае объясните, почему уравнение имеет корни одинаковых знаков, и определите знаки корней:

а) $x^2 + 3x + 2 = 0$;

б) $x^2 - 3x + 2 = 0$;

в) $x^2 - 5x + 4 = 0$;

г) $x^2 + 5x + 4 = 0$;

д) $x^2 - 6x + 8 = 0$;

е) $x^2 + 8x + 7 = 0$.

Для анализа знаков корней данных квадратных уравнений воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ верны следующие соотношения: их сумма $x_1 + x_2 = -p$ и их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

Корни имеют одинаковые знаки в том случае, если их произведение положительно. Из теоремы Виета следует, что $x_1 \cdot x_2 = q$. Таким образом, если свободный член $q > 0$, то корни имеют одинаковые знаки. Во всех представленных уравнениях это условие выполняется.

Чтобы определить, являются ли корни положительными или отрицательными, нужно проанализировать их сумму, $x_1 + x_2 = -p$. Если известно, что корни имеют одинаковый знак, то:
- при положительной сумме ($x_1 + x_2 > 0$, что соответствует $p < 0$) оба корня положительны;
- при отрицательной сумме ($x_1 + x_2 < 0$, что соответствует $p > 0$) оба корня отрицательны.

а) $x^2 + 3x + 2 = 0$
Для этого приведенного квадратного уравнения коэффициенты равны $p=3$ и $q=2$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 2$. Так как произведение корней является положительным числом ($2>0$), то оба корня имеют одинаковый знак.
Сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p = -3$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма отрицательна, то оба корня являются отрицательными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=2$ положителен. Оба корня отрицательные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=-3$ отрицательна.

б) $x^2 - 3x + 2 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты $p = -3$ и $q = 2$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 2$. Так как $2 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-3) = 3$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма положительна, то оба корня являются положительными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=2$ положителен. Оба корня положительные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=3$ положительна.

в) $x^2 - 5x + 4 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты $p = -5$ и $q = 4$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 4$. Так как $4 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма положительна, то оба корня являются положительными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=4$ положителен. Оба корня положительные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=5$ положительна.

г) $x^2 + 5x + 4 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты $p = 5$ и $q = 4$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 4$. Так как $4 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -5$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма отрицательна, то оба корня являются отрицательными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=4$ положителен. Оба корня отрицательные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=-5$ отрицательна.

д) $x^2 - 6x + 8 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты $p = -6$ и $q = 8$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 8$. Так как $8 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-6) = 6$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма положительна, то оба корня являются положительными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=8$ положителен. Оба корня положительные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=6$ положительна.

е) $x^2 + 8x + 7 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты $p = 8$ и $q = 7$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 7$. Так как $7 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -8$. Так как корни имеют одинаковый знак и их сумма отрицательна, то оба корня являются отрицательными.
Ответ: Уравнение имеет корни одинаковых знаков, потому что свободный член $q=7$ положителен. Оба корня отрицательные, так как при одинаковых знаках их сумма $x_1+x_2=-8$ отрицательна.

515 Все данные уравнения имеют корни. В каждом случае объясните, почему уравнение имеет корни разных знаков. Определите, какой из корней больше по модулю — положительный или отрицательный:

а) $x^2 + 5x - 6 = 0$;

б) $x^2 - 5x - 6 = 0$;

в) $x^2 + 4x - 21 = 0$;

г) $x^2 - 4x - 21 = 0$;

д) $x^2 - 2x - 3 = 0$;

е) $x^2 + 2x - 3 = 0$.

Для анализа корней приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения: $x_1 + x_2 = -p$ (сумма корней) и $x_1 \cdot x_2 = q$ (произведение корней).

Уравнение имеет корни разных знаков (один положительный, другой отрицательный), если их произведение отрицательно, то есть $x_1 \cdot x_2 < 0$. Из теоремы Виета следует, что это условие выполняется, когда свободный член $q < 0$. Во всех представленных уравнениях свободный член отрицателен, поэтому все они имеют корни разных знаков.

Чтобы определить, какой из корней больше по модулю, рассмотрим знак их суммы $x_1 + x_2 = -p$.
- Если сумма корней $x_1 + x_2$ положительна (т.е. $-p > 0$ или $p < 0$), то положительный корень имеет больший модуль (например, 5 и -2).
- Если сумма корней $x_1 + x_2$ отрицательна (т.е. $-p < 0$ или $p > 0$), то отрицательный корень имеет больший модуль (например, -5 и 2).

а) $x^2 + 5x - 6 = 0$

Свободный член $q = -6$. Так как $q < 0$, корни уравнения имеют разные знаки. Коэффициент $p = 5$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -5$. Поскольку сумма корней отрицательна, то отрицательный корень больше по модулю.
Ответ: Отрицательный корень больше по модулю.

б) $x^2 - 5x - 6 = 0$

Свободный член $q = -6 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки. Коэффициент $p = -5$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$. Поскольку сумма корней положительна, то положительный корень больше по модулю.
Ответ: Положительный корень больше по модулю.

в) $x^2 + 4x - 21 = 0$

Свободный член $q = -21 < 0$, значит, корни имеют разные знаки. Коэффициент $p = 4$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -4$. Так как сумма корней отрицательна, отрицательный корень больше по модулю.
Ответ: Отрицательный корень больше по модулю.

г) $x^2 - 4x - 21 = 0$

Свободный член $q = -21 < 0$, значит, корни имеют разные знаки. Коэффициент $p = -4$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-4) = 4$. Так как сумма корней положительна, положительный корень больше по модулю.
Ответ: Положительный корень больше по модулю.

д) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Свободный член $q = -3 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки. Коэффициент $p = -2$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-2) = 2$. Поскольку сумма корней положительна, положительный корень больше по модулю.
Ответ: Положительный корень больше по модулю.

е) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Свободный член $q = -3 < 0$, следовательно, корни имеют разные знаки. Коэффициент $p = 2$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -2$. Поскольку сумма корней отрицательна, отрицательный корень больше по модулю.
Ответ: Отрицательный корень больше по модулю.

516 Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

а) $x^2 - 7x + 10 = 0$, $x_1 = 2$;

б) $x^2 + 8x + 15 = 0$, $x_1 = -3$;

в) $x^2 + 3x - 18 = 0$, $x_1 = 3$;

г) $x^2 - 6x - 7 = 0$, $x_1 = 7$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие соотношения: сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. Зная один корень, мы можем легко найти второй, используя одну из этих формул. В данном случае удобнее использовать формулу произведения корней.

а) Дано уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$ и один из его корней $x_1 = 2$. Свободный член этого уравнения $q=10$. Согласно теореме Виета, произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$. Подставим известные значения в это равенство: $2 \cdot x_2 = 10$. Отсюда находим второй корень: $x_2 = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: $x_2 = 5$.

б) Дано уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$ и один из его корней $x_1 = -3$. Свободный член этого уравнения $q=15$. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. Подставим известные значения: $(-3) \cdot x_2 = 15$. Отсюда находим второй корень: $x_2 = \frac{15}{-3} = -5$.
Ответ: $x_2 = -5$.

в) Дано уравнение $x^2 + 3x - 18 = 0$ и один из его корней $x_1 = 3$. Свободный член этого уравнения $q=-18$. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. Подставим известные значения: $3 \cdot x_2 = -18$. Отсюда находим второй корень: $x_2 = \frac{-18}{3} = -6$.
Ответ: $x_2 = -6$.

г) Дано уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$ и один из его корней $x_1 = 7$. Свободный член этого уравнения $q=-7$. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. Подставим известные значения: $7 \cdot x_2 = -7$. Отсюда находим второй корень: $x_2 = \frac{-7}{7} = -1$.
Ответ: $x_2 = -1$.

РАССУЖДАЕМ Решите квадратное уравнение подбором корней (517–519).

517 a) $y^2 + 9y + 20 = 0$;

б) $x^2 - 11x + 24 = 0$;

в) $t^2 - 9t + 8 = 0$;

г) $z^2 + 12z + 20 = 0$;

д) $x^2 + 13x + 30 = 0$;

е) $y^2 - 17y + 30 = 0$;

ж) $t^2 + 12t + 32 = 0$;

з) $u^2 - 15u + 50 = 0$.

Для решения данных квадратных уравнений вида $x^2+px+q=0$ воспользуемся теоремой Виета, согласно которой сумма корней уравнения ($x_1+x_2$) равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($-p$), а произведение корней ($x_1 \cdot x_2$) равно свободному члену ($q$).

Дано уравнение $y^2 + 9y + 20 = 0$.

Согласно теореме Виета, для корней $y_1$ и $y_2$ должны выполняться условия:

$y_1 + y_2 = -9$

$y_1 \cdot y_2 = 20$

Поскольку произведение корней является положительным числом ($20$), а их сумма — отрицательным ($-9$), оба корня должны быть отрицательными. Начнем подбор с разложения числа $20$ на множители: $20 = 4 \cdot 5$. Если взять числа с отрицательными знаками, получим: $-4$ и $-5$.

Проверим их сумму: $-4 + (-5) = -9$.

Проверим их произведение: $(-4) \cdot (-5) = 20$.

Оба условия выполняются, следовательно, корни найдены верно.

Ответ: $y_1 = -4$, $y_2 = -5$.

Дано уравнение $x^2 - 11x + 24 = 0$.

По теореме Виета для корней $x_1$ и $x_2$ имеем:

$x_1 + x_2 = -(-11) = 11$

$x_1 \cdot x_2 = 24$

Так как и произведение ($24$), и сумма ($11$) корней положительны, оба корня должны быть положительными. Разложим $24$ на множители и проверим их сумму: $24 = 3 \cdot 8$.

Проверим сумму: $3 + 8 = 11$.

Условия выполняются.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 8$.

Дано уравнение $t^2 - 9t + 8 = 0$.

По теореме Виета для корней $t_1$ и $t_2$ имеем:

$t_1 + t_2 = -(-9) = 9$

$t_1 \cdot t_2 = 8$

Сумма и произведение корней положительны, значит, оба корня положительны. Разложим $8$ на множители: $8 = 1 \cdot 8$.

Проверим сумму: $1 + 8 = 9$.

Условия выполняются.

Ответ: $t_1 = 1$, $t_2 = 8$.

Дано уравнение $z^2 + 12z + 20 = 0$.

По теореме Виета для корней $z_1$ и $z_2$ имеем:

$z_1 + z_2 = -12$

$z_1 \cdot z_2 = 20$

Произведение корней положительно, а сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны. Разложим $20$ на отрицательные множители: $20 = (-2) \cdot (-10)$.

Проверим сумму: $-2 + (-10) = -12$.

Условия выполняются.

Ответ: $z_1 = -2$, $z_2 = -10$.

Дано уравнение $x^2 + 13x + 30 = 0$.

По теореме Виета для корней $x_1$ и $x_2$ имеем:

$x_1 + x_2 = -13$

$x_1 \cdot x_2 = 30$

Произведение корней положительно, а сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны. Разложим $30$ на отрицательные множители: $30 = (-3) \cdot (-10)$.

Проверим сумму: $-3 + (-10) = -13$.

Условия выполняются.

Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = -10$.

Дано уравнение $y^2 - 17y + 30 = 0$.

По теореме Виета для корней $y_1$ и $y_2$ имеем:

$y_1 + y_2 = -(-17) = 17$

$y_1 \cdot y_2 = 30$

Сумма и произведение корней положительны, значит, оба корня положительны. Разложим $30$ на множители: $30 = 2 \cdot 15$.

Проверим сумму: $2 + 15 = 17$.

Условия выполняются.

Ответ: $y_1 = 2$, $y_2 = 15$.

Дано уравнение $t^2 + 12t + 32 = 0$.

По теореме Виета для корней $t_1$ и $t_2$ имеем:

$t_1 + t_2 = -12$

$t_1 \cdot t_2 = 32$

Произведение корней положительно, а сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны. Разложим $32$ на отрицательные множители: $32 = (-4) \cdot (-8)$.

Проверим сумму: $-4 + (-8) = -12$.

Условия выполняются.

Ответ: $t_1 = -4$, $t_2 = -8$.

Дано уравнение $u^2 - 15u + 50 = 0$.

По теореме Виета для корней $u_1$ и $u_2$ имеем:

$u_1 + u_2 = -(-15) = 15$

$u_1 \cdot u_2 = 50$

Сумма и произведение корней положительны, значит, оба корня положительны. Разложим $50$ на множители: $50 = 5 \cdot 10$.

Проверим сумму: $5 + 10 = 15$.

Условия выполняются.

Ответ: $u_1 = 5$, $u_2 = 10$.